山东省临清市高中数学 3.4生活中的优化问题举例教学案 新人教版选修1-1

用心 爱心 专心第三章第 4 节 生活中的优化问题举例课前预习学案一、预习目标了解解决优化问题的思路和步骤二、预习内容1．概念：优化问题：_______________________________________________________2.回顾相关知识：（1）求曲线 y=x2+2 在点 P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线 y=x3上某点切线的斜率为 3，求此点的坐标。3：生活中的优化问题，如 何用导数来求函数的最小 (大)值？4.解决优化问题的基本思路是什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量 y与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式 ()yfx，根据实际问题确定函数 ()yf的定义域；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。难点：在实际问题中，有 ()0fx常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。二、学习过程1. 汽油使用效率最高的问题阅读例 1，回答以下问题：（1） 是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？（2） “汽车 的汽油使用效率最高”含义是什么？（3） 如何根据图 3.4-1 中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？用心 爱心 专心2. 磁盘最大存储量问题阅读背景知识，思考下面的问题：问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 的环形区域。（1）是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？（2）r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？3 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响阅读背景知识，思考下面的问题：（1 ）请建立利润 y 与瓶子半径 r 的函数关系。（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？三、反思总结通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：四 、 当 堂 检 测已知某养猪场每年的固定成本是 20000 元，每年最大规模的养殖量是 400 头。每养 1 头猪，成本增加 100 元，如果收入函数是 R(q)= (q 是猪的数量)，每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可用计算器）用心 爱心 专心课后练习与提高1.打印纸型号设计原理某种打印纸的面积为 623.7cm2，要求上下页边距分别为 2.54cm，左右页边距分别为3.17cm，如果要求纵向打印，长与宽分别为多少时可使其打印面积最大(精确到 0.01cm)？收集一下各种型号打印纸 的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）型号 A5 A4 A3 Legal 16 开 32 开 大 32 开 B4 B5宽 14.8 21 29.7 21.59 18.4 13 14 25.7 18.2高 21 29.7 42 35.56 26 18.4 20.3 36.4 25.72.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能时所用材料最省？圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？§3.4 生活中的优化问题举例教学目标：1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式 ()yfx，根据实际问题确定函数 ()yf的定义域；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。难点：在实际问题中，有 ()0fx常常仅解到一个根，若能判断函数的最大 （小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。教学方法：尝试性教学用心 爱心 专心教学过程：前置测评：（1）求曲线 y=x2+2 在点 P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线 y=x3上某点切线的斜率为 3，求此点的坐标。【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大 、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题例 1.汽油的使用效率何时最高材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油 量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系 g=f(v) 如图 3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度 v 为多少时，汽油的使用效率最高？解：因为 G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v这样，问题就转化为求 g/v 的最小值，从图象上看，g/v表示经过原点与曲线上点（v,g）的直线的斜率。继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为 90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即 f’(90),约为 0.67L.例 2.磁盘的最大存储量问题【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0 或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为 R的磁盘，它的存储区是半径介于 r与 R之间的环形区域．是不是 r越小，磁盘的存储量越大？为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。用心 爱心 专心设存储区的半径介于 r与 R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达rm。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2rn。所以，磁盘总存储量()frRm×2rn()Rr（1）它是一个关于 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 r越小，磁盘的存储量越大．（2）为求 ()fr的最大值，计算 ()0fr．()2fRmn令 ()0fr，解得r当 2R时， ()fr；当 2Rr时， ()0fr．因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为24Rmn例 3. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并 出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 20.8r分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮 料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【引导】 先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.用心 爱心 专心（1）半径为 2cm 时，利润最小，这 时 20f，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为 6cm 时，利润最大．【思考】根据以上三个例题，总结用导数 求解优化问题的基本步骤.【总结】 （1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量 y与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式 f，并确定函数的定义区间；（2）求'，解方程 '0fx，得出所有实数根；（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。作业：P114 习题 3.4 第 2、4 题关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．