江苏省2015届高三上学期开学考试　数学　含答案

高三年级暑假学情情况检测数学试题（2014.8）命题人：石滢 何莹 审题人：张万森一、填空题：1.集合 共有 个真子集.1,02.若复数 是纯虚数，则实数 的值为 　 ．(i)2mm3.执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 31，则图中判断框内①处应填的整数为 ．b（第 3 题图） （第 4 题图）4.函数 是常数， 的部分图象如图所示，则 .()sin(),(fxAx0,)A_)0(f5.已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则此圆锥的体积为_________ ．5cm152cm3cm6.从 这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 ．,4217.设椭圆21xyn（ 0， n）的右焦点与抛物线 28yx的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的短轴长为 　　　　 ．8.如图，在 中， ADB， 3CD， 1A，则 CAD=___________. BC（第 8 题图） 9.曲线 2ayx和 在它们的交点处的两条切线互相垂直，则 a的值是 .10.设 1(1)()8 2xf，若 6(),ft则 t的范围_________________.11. 直线 与圆 相交于 M,N 两点，若 ，3ykx224y23MN则 k 的取值范围是________． 图1 图2MCBBAD CE EDA12. 方程 的解的个数为 ．2(01)xaa且13.若 ，且 ，则 的最小值是____________.Rb, 942b22ba14.无穷数列 中， 是首项为 10，公差为 的等差数列； 是首项为 ，公{}n1,m 12,,mmaa 12比为 的等比数列（其中 ） ，并且对于任意的 ，都有 成立.记数列 的前12*3,N≥ *nNn{}n项和为 ,则使得 的 的取值集合为____________.nnS12850m≥ *,)(≥ m二、解答题:15.在锐角 ABC中，已知内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，向量 ，3,sin2CAm，且向量 共线.2cos, n,（1 ）求角 的大小；　　　 　　（2 ）如果 1b，求 AB的面积 ABCS的最大值.16.已知四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图 1） 。现将△ADE 沿 DE 折起，使得 AE⊥EB（如图 2） ，连结 AC，AB，设 M 是 AB 的中点。（1）求证：BC⊥平面 AEC；（2）判断直线 EM 是否平行于平面 ACD，并说明理由．17.已知点 点 依次满足 , .(2,0)(,B,A1AB（1 ）求点 的轨迹；（2 ）过点 作直线 与以 为焦点的椭圆交于 两点，线段 的中点到 轴的距离为 ，且直Al, ,MNy45线 与点 的轨迹相切，求该椭圆的方程．lD18.围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 (单位：元)．x(1)将 表示为 的函数： yx(2)试确定 ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．19. 已知数列{a n}中,a 2=1,前 n 项和为 Sn,且 .1()2na(1)求 a1；(2)证明数列{a n}为等差数列,并写出其通项公式；(3)设 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 12）361802x(2) 45702y当且仅当 取到等号4x答：当 时，最小费用为 10440 元座 位 号 19、 （ 16 分）解:(1)令 n=1,则 a1=S1= =0 1()2a(2)由 ,即 , ① ()2nSn得 . ② 11n②-①,得 . ③ 1()na于是, . ④ 2n③+④,得 ,即 1naa21nna又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{ an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以, an=n-1 (3)假设存在正整数数组( p,q),使 b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列, 于是, 23所以, (☆). 1()qp易知( p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 当 p≥3,且 p∈N*时, <0,故数列{ }(p≥3)为112()2433pp23递减数列, 于是 ≤ <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 213p综上,存在唯一正整数数对( p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq成等比数列 20、 （ 16 分）解⑴ max()(1)g（2） ， （ ）21'2xh0x∴当 时， ，∴函数 的增区间为 ，0'()0x()h(,)当 时， ，222'() xh当 时， ，函数 是减函数；2x'()0x()h当 时， ，函数 是增函数。20'x综上得，当 时， 的增区间为 ； ()hx(,)当 时，增区间 ，减区间 20,)2,)⑶当 ， 在 上是减函数，x1'()x(,此时 的取值集合 ；当 0x时，' )A，()2若 时， 在 上是增函数，此时 的取值集合0'(),0'()；,B若 时， 在 上是减函数，此时 的取值集合'x,)'x。(,)对任意给定的非零实数 ，①当 时，∵ 在 上是减函数，则在 上不存0'()0,)(0,)在实数 （ ） ，使得 ，则 ，要在tx''(xt上存在非零实数 （ ） ，使得 成立，必定(,)t')'(xt有 ，∴ ；AB0②当 时， 在 时是单调函数，则x'()2x(,0)，要在 上存在非零实数 （ ） ，使得(0,)t, tx成立，必定有 ，∴ 。''xtBA综上得，实数 的取值范围为 。 (,0)