广东省珠海市2006-2007学年第一学期期末教学质量调研（数学理）

珠海市 2006-2007 学年度第一学期期末中学教学质量调研监测高三数学（理科）试卷2007．1本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。参考公式：三棱锥体积公式： （S 为底面面积，h 为高）13V微积分基本定理： ， ，则有()[,]fxab是 区 间 上 的 连 续 函 数 ()fx且 F=()badF导数公式： (cos)inxn 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为： ()(1),01,2.knnPCpn第一部分 选择题（共 40 分）一、选择题：本大题 8 个小题，每题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1． 是 的（ ）0x21（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件2．函数 的图象的大致形状是()(1)|xfa（A） （B） （C） （D）3．如右图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为 ，那么这个几何体的体积为2（A） 1 （B） 12（C） （D ）36(D)(C)(B)(A)OOOO x x x xy y y y俯俯俯俯俯俯俯俯俯4． 的最小正周期和最小值为（ ）22sinicos3yxx（A） ，0 （ B）2 ，0（C） ， （D）2 ，5．在下面的程序框图中，输出的数 （ ）s（A）25（B）30（C）55（D）916．点 和点 在直线 两侧，则 的范围是（ ）(3， 1)(46)， 320xyaa（A） （B） （C） （D）72a或 74724或 7a7． ，若 ，(0)(cos)()O点 ， ， ， ， ， in， ， ||13(0,)AOC，则 夹角为（ ）OBC、（A） （B） （C） （D）24368．对任意实数 ，定义运算 为： ，则ab、 “”,ab的值域是（ ）122()[log(3)](log)fxxx（A） （B） （C） （D）0,,0]2(log,1)32(log,)3开始结束输入 x=1,s=0输出 sx≤5x=x+1s=s+x2是否第二部分 非选择题（共 110 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，满分为 30 分。其中第 9-12 题为必做题，每题 5 分，共20 分；第 13-15 题为选做题，从中选做 2 题，每题 5 分，共 10 分。9．函数 的图象与 轴在 范围内围成的封闭图形的面积是___________．sinyx[0]，10．已知椭圆离心率为 ，一个短轴顶点是 ，则此椭圆的标准方程为35(8)，___________．11．已知 f (x)是定义在实数集 R 上的函数，且满足 ， ，)(1)2(xfxf18f则 f (2007)=___________．12． 已知等式 ， ，……，请你sin4cos2sincosco48写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式（不要求证明） ，那么这个等式是：____________________________________________．选做题：从以下三个小题中选做 2 题（只能做其中 2 题，做 3 个的，按得分最低的 记分）．13． （几何证明选讲选做题）从不在⊙O 上的一点 A 作直线交⊙O 于 B、C 两点，且 AB·AC=60，OA=8，则⊙O 的半径等于____________． 14． （坐标系与参数方程选做题）点 P(－3，0)到曲线 上的点的最短距离为 __________．)(2Rttyx其 中 参 数15． （不等式选讲选做题）已知 ，则 的最大值为1,cbaRcba， 且 133cba______________．三、解答题：共六道小题，满分为 80 分。解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．16． （本小题满分 12 分）在 中，三边长分别为 ．ABC6,5,7CABA（1）求 的值；BA（2）求 的值．CBcoss2in)2(in217． （本小题满分 12 分）甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为 0.5 与 0.8，如果每人投篮两次． （1）求甲比乙少投进一次的概率；（2）若投进一个球得 2 分，未投进得0 分，求两人得分之和 的期望 ．E18． （本小题满分 14 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA ⊥平面ABCD，AB＝2 ，PDA ＝45 ，E、F 分别是AB、PC 的中点．（1）求证：EF∥平面 PAD； （2）求异面直线 EF 与 CD 所成的角；（3）若 AD=3，求点 D 到面 PEF 的距离．19． （本小题满分 14 分）已知函数 的图象关于原点),(32)(3Rcbaxaxf 对称，且当 时， ．1x)(取 极 小 值 －xf（1）求 a，b，c 的值；（2）当 时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的，结论．20． （本小题满分 14 分）已知一动圆 与定圆 和 轴都相切，P1)(2yx（1）求动圆圆心 的轨迹 M 的方程；P（2）过定点 ，作△ ，使 ，且动点 在 的轨迹 M 上移动（)2,1(ABC09ACB,P不在坐标轴上） ，问直线 是否过某定点？证明你的结论。CB,21． （本小题满分 14 分）已知数列 满足 ，并且nyx, 2,12yx， （ 为非零参数， ） ．11()0nnxx0)1(1ny,43n（1）若 成等比数列，求参数 的值；53,（2）当 时，证明 ；*1Nnyxxn（3）设 ， ，证明：01*kN)()(2412xx)(36 *22)1()(NkxkPFEDCBA珠海市 2006-2007 学年度第一学期期末中学教学质量调研监测高三数学（理科）参考答案及评分标准2007．1第一部分 选择题（共 40 分）一、选择题：本大题 8 个小题，每题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B D C C B D B第二部分 非选择题（共 110 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，满分为 30 分。其中第 9-12 题为必做题，每题 5 分，共20 分；第 13-15 题为选做题，从中选做 2 题，每题 5 分，共 10 分。9． 2 10． ( 也算对) 11．82108xy1064xy12． (n 换成其它字母也对)1sin2coscon选做题：从以下 3 个小题中选做 2 题（只能做其中 2 题，做 3 个的，按得分最低的 记分）．13． （几何证明选讲选做题）2 或 3114． （坐标系与参数方程选做题）315． （不等式选讲选做题） 2三、解答题：共六道小题，满分为 80 分。解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．16．解：（1） …(1 分)cosBACBA…(3 分)2249569cos 7…(5 分)175cos3BAB（2）. 为三角形内角,(0,)sin…(6 分)254162sin1cos3 原式22 '2sinco(sicos)7ACB      '1)1(i[ )]9cos      = …(10 分)sin()(BACincossin)AC…(11 分)2si…(12 分)463517．解：（1）设“甲比乙少投进一次”为事件 A，依题意可知它包含以下两个基本事件：① 甲投进 0 次，乙投进 1 次，记为事件 B，则有：；…(2 分)2().50.8(.)08PBC② 甲投进 1 次，乙投进 2 次，记为事件 C，则有：；…(4 分)2()..3…(5 分)()080PABC答：甲比乙少投进一次的概率为 0.40．…(6 分)（2）解法一：先分后合，分别计算甲乙两人得分的期望，再求和．甲得分的分布列为： 乙得分的分布列为：…(8 分) 0.25.40.25E…(10 分)4363…(11 分).E答：两人得分之和 的期望 为 5.2．…(12 分)解法二：整体考虑．甲乙两人得分的分布列为：0 2 4P 0.04 0.32 0.640 2 4P 0.25 0.5 0.25…(10 分)…(11 分)0.12.04.360.48.165.2E答：两人得分之和 的期望 为 5.2．…(12 分)E18．解法一：几何法（1） 证明：取 PD 的中点 G,则 FG= CD 且21FG//CD, …(1 分)E 为 AB 中点,在矩形 ABCD 中,有 AE//CD 且AE= CD …(2 分)21∴有 AE//FG 且 AE=FG, ∴平行四边形 EFGA, …(3 分)有 EF//AG ,又 EF 面 PAD,AG 面 PAD , ∴EF//面 PAD…(5 分)（2）在矩形 ABCD 中，CD ⊥AD，由 PA⊥面 ABCD 知，PA⊥CD…(7 分)∵AD、PA 面 PAD，∴ ．…(8 分)CDPA平 面∵AG 面 PAD，∴CD ⊥AG，…(9 分)由（1）有 EF//AG，∴EF⊥CD…(10 分)（3）过 D 作 DH⊥PC，H 为垂足，由 PA⊥面 ABCD 知，在△PAD 中，PA⊥CD，已知PDA＝45，∴△PAD 为等腰直角三角形，G 为 PD 中点，∴AG⊥PD由（1）知 EF//AG，∴EF⊥PD，由（2）知 EF⊥CD，CD、PD 面 PCD，∴EF⊥面 PCD，…(11 分)DH 面 PCD， ∴EF⊥DH，又有 DH⊥PC，PC、EF 面 PEF，∴DH⊥面 PEF，DH 即为点 D 到面 PEF 的距离 …(12 分)AD=PA=3，PA= ，CD=AB=2，CD⊥PD，PC=23 22CDP在直角三角形 PCD 中，DH= …(14 分)163PCD0 2 4 6 8P 0.01 0.10 0.33 0.40 0.16HGFEDCBAP解法二：坐标法 如图，以 A 为坐标原点，以AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系．∵PA⊥平面 ABCD，PDA＝45，所以三角形 PAD 为等腰直角三角形，可设 ， ， ，(,0)Bb(,0)Da(,)Pa…(3 分)Ca（1）∵ ， …(4 分)(,2E(,2bF…(6 分) 10)ADP∴EF∥平面 PAD（2） ∵ ，…(7 分)(,Cb∴ …(9 分)0(,02aEF，异面直线 EF 与 CD 所成的角为 ；…(10 分)D09（3） AD=PA=3，AB=2 ，∴a=3，b=2E（1，0，0） ，F（1，3/2 ，3/2 ） ， =（0，3/2，3/2） ，EF)3,01(PE过在作面 PEF 的法向量 ，设 =（1，x，y） ，则…(11 分)HD，∴ …(12 分)PDH, ,即 ,解得 , = …(13 分)031)(2yx31yx31,(点 D 到面 P