第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION3

§3 仿射坐标系、、 仿射坐标系与度量系数[仿射坐 标] 在三维欧氏空间 A中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为 i，j，k 时，则空间中的矢量 a 可表示为a＝a x i＋a y j＋a z k一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量 e1，e2，e3，则空间中任一矢量 a 可按这三个矢量分解，令其系数为 a1,a2,a3(这里 1,2,3 不是指数，而是上标)则 a 可表示为a＝a 1e1＋a 2e2＋a 3e3或简计作 AA a＝a ieia＝ a1,a2,a3 ＝{ a i}AAA这种坐标系 e1,e2,e3 称 为仿射坐标系，e 1,e2,e3 称为坐标矢量，a 1,a2,a3 称为矢量 a 的仿射坐标. [欧氏空 间中度量系数] 当矢量 a 写成上面的形式时，则它的长度 a 由(a)2＝(a iei)(ajej)＝ (eiej)aiaj给出.令eiej＝g ij(＝g ji) (i，j＝1,2,3)则称 gij为仿射坐标系的度量系数.1 矢量 a 的长度由(a)2＝g ijaiaj计算.2 两个矢量a＝a iei，b＝ bjej的夹角 由cos ＝gijij计算.3 因为 gijaiaj 是正定二次型，所以由 gij 所作的行列式 121330A 欧几里得空间简称欧氏空间，它的定 义见第二十一章，§4.AA 这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的 值；如果每个指标在乘积中出现两次，就表示取一切可能的 值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称为爱因斯坦约定.AAA 这是张量写法.混合积(e１,e２,e３)2= =g323131e(e１,e２,e３)=[克 罗内克尔符号] 对称矩阵 ggij12133的逆矩阵用 32311ggij来表示.由逆矩阵的性质，有 gij=gji 和gikgkj=ji式中=ji10,j称为克罗内克尔符号.[互易矢量] 利用这个 gij规定ei=gijej因而有ej=gijeieiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=kieiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gil =gijlj对 e１,e２,e３，可以得到e1= (e2×e3),ge2= (e3×e1), e3= (e1×e2)e1,e2,e3 称为关于坐标矢量 e1,e2,e3 的互易矢量. g ij 称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.、、 逆变矢量与协变矢量 [逆 变矢量与协变矢量] 如果矢量 a 在坐标系 e１,e２,e３ 中的仿射坐标 a1,a2,a3 是由公式a＝a 1e1＋a 2e2＋ a3e3=aiei给出，则 a1,a2,a3 称为矢量 a 的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量 ai 称为逆变矢量(或称为抗变矢量).如果关于坐标矢量 e１,e２,e３的互易矢量为 e1,e2,e3，矢量 a 在坐标系 e1,e2,e3 中的仿射坐标 a1,a2,a3 是由公式a＝a 1e1＋a 2e2＋ a3e3=ajej给出，则 a1,a2,a3 称为矢量 a 的协变坐标，而矢量 aj 称为协变矢量.在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系ai=a·ei=(ajej)·ei=aj(ej·ei)=ajgji[逆变矢量与 协变矢量的标量积]如果 a , b 为两个矢量，a 1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3 分别为 它们的逆变坐标，则a·b=gijaibj如果 a , b 为两个矢量，a 1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3 分别为 它们的协变坐标，则a·b=gijaiaj如果 a 的逆变坐标为 a1,a2,a3,b 的协变坐标为 b1 ,b2 ,b3 , 则a·b=aibi、、 n 维空间[n 维空间的定义] 如果空间中的点与 n 个独立实数 x1，···，xn 的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为 n 维实数空间 A(简称 n 维空间)，记作 Rn.所以空间中一点 M 对应于一组有序数 x１，···，xn；反之，一 组有序数 x１，···，xn对应于一点 M.这样 的一组有序数( x１，···，xn)称为 n 维空间 Rn 中一点 M 的坐标.[n 维空间中的矢量] 在 n 维空间 Rn 中取一定点 O，坐标为(0,0,···,0)，另外一点M(x1，x2，···，xn)，r 为对应于两点 O 和 M 的矢量，称为点 M 的矢径.假定在 Rn 中可以引进仿射坐标系，使得矢径 r 与点 M(xi)的坐标的关系是r＝x 1e1＋··· ＋x nen＝x iei式中 e1，···，en 是 Rn 中 n 个 线性无关的矢量， 这种坐标系 e1,···,en 称为 Rn 中的仿射坐标系，x1，···，xn 称为 Rn 中矢量 r 的仿射坐标.在三维空间中所讨论的许多结果，在 n 维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从 1 到 n 就行了.[逆 变矢量与协变矢量] 在 n 维空间 Rn 中考虑 一个任意坐标变换A n 维实数空间另一定义见第二十一章， §3.AA (1)xxiin1,in12,其中函数 关于 xi 有连续 的各阶导数(讨论中所需要的 阶数) ，变换的雅可比式不等于零：i 0,21nx因而(1)有逆变换 xii n12,,设 a1,···,an为 xi 的函数，如果在坐 标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即 iiax则称 ai为坐标系(x i)中一个矢量的逆变坐标， 为坐标系 中同一个矢量的逆变坐标.称矢ii量 为逆变矢量.i如果 ai 按 iiax的形式变换，则称 ai为坐标系(x i)中一个矢量的协变坐标，称 为坐标系 中同一矢量的ixi协变坐标，称矢量 为协变矢量.i逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的，但是它们之间有关系式 ijjkix式中 为克罗内克尔符号.ji例 标量场的梯度是一个协变矢量.设 n 维空间的标量场为 ,它沿一无限小位移 dxi 上的变更xn12,ixd是一个在坐标变换下的不变量，式中 是 的梯度的分量.因此在坐标变换下，iiAA 这里用 表示同一点 M（xi）在另一个坐标系中的坐标，就是 说 和 表示同一点.用同一xi xii个核文字(如 x)表示同一个对 象，用指 标上加一撇表示不同的坐标系（如 等），这种记法叫核i,标法.iiii xx dd. 则 iix.所以 是一个协变矢量.i