《北京市朝阳区2007年一模试卷（数学-理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2007年一模试卷（数学-理）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 北京市朝阳区高三第一次统一考试数 学 试 题（理科）2007.4（考试时间 120 分钟，满分 150 分）第卷（选择题，共 40 分）1设集合 U = R，集合 M = x| x 0, N = x | x2 x，则下列关系中正确的是 （ ）A BNMC D)()(U NCU)(2在ABC 中，sin 2A = sin 2B 是 A = B 的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知 a、b 是两条不重合的直线，、 是两个不重合的平面，给出四个命题：ab，b，则 a；a、 ，a ，b ，则 ；a 与 成 30的角，ab，则 b 与 成 60的角；
2、a，b，则 ab.其中正确命题的个数是 （ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个4已知等比数列a n的前 n 项为 Sn，S 3 = 3，S 6 = 27，则此等比数列的公比 q 等于 （ ）A2 B 2 C D125从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师，派往郊区 3 所学校支教，每校 1 人.要求这3 位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A210 种 B 186 种 C180 种 D90 种6已知函数 在区间 M 上的反函数是其本身，则 M 可以是 （ 24)(xf）A2，2 B 2，0 C0，2 D 0,27已知椭圆的焦点是 F1、F 2，P 是椭圆上的
3、一个动点，过点 F2 向F 1PF2 的外角平分线作垂线，垂足为 M，则点 M 的轨迹是 （ ）A圆 B椭圆 C直线 D双曲线的一支8已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为 m 个，则从存储器中取出 n 个数据后，此存储器中的数据个数为 mn 个；若存储器中原有数据为 m 个，则将 n 个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为 m + n 个.现已知计算机中 A、B、C 三个存储器中的数据个数均为 0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于 2 的数据；第二次运算：从 A 存储器中取出 2 个数据，将这 2 个数据存入 B 存储器中；第三
4、次运算：从 C 存储器中取出 1 个数据，将这 1 个数据存入 B 存储器中；第四次运算：从 B 存储器中取出 A 存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入 A 存储器，则这时存储器中的数据个数是 （ ）A8 B 7 C6 D5第卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填在题中横线上.9设复数 ，则 等于 .iziz2,121z10若(1ax) 6 的展开式中 x4 的系数是 240，则实数 a 的值是 .11圆 x2 + y2 + 4x2y + 4 = 0 上的点到直线 xy 1 = 0 的最大距离与最小距离的差为 .12已知一个球与
5、一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是 ，切5点到二面角棱的距离是 1，则球的表面积是 ，球的体积是 .13已知向量 a =(2,3)， ，且 ab，则|a| = ，b 的坐标是 .32|b14已知函数 且不等式 的解集是 ，则),1(|)(xxf axf)(2,0,实数 a 的值是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （本小题满分 13 分）已知向量 ，函数)cos,(),sin(coxbx .12)(baxf（）求函数 f(x)的最小正周期；20070410 （）当 时，求 f(x)的单调减区间.2,0x16 （本
6、小题满分 13 分）甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为 0.6，乙队获得的概率为 0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出.（）求甲队以二比一获胜的概率；（）求乙队获胜的概率；（）若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由.17 （本小题满分 13 分）如图，棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E、F 分别是棱 AD、CD 的中点，O 是点A 在平面 BCD 内的射影.（）求直线 EF 与直线 BC 所成角的大小；（）求点 O 到平面 ACD 的距离；（）求二面角 ABEF 的大小.18 （本小题满分 13 分）已
7、知函数 处有极值， 处的切线 l 不1)(23xcbaxf 在 2)(xf在过第四象限且倾斜角为 ，坐标原点到切线 l 的距离为4.2（）求 a、b、c 的值；（）求函数 上的最大值和最小值.23,1)(在 区 间xfy 2007041019 （本小题满分 14 分）已知双曲线的中心在原点 O，右焦点为 F（c，0 ） ，P 是双曲线右支上一点，且OEP 的面积为 .26（）若点 P 的坐标为 ，求此双曲线的离心率；)3,(（）若 ，当 取得最小值时，求此双曲线的方程.216cFO |OP20 （本小题满分 14 分）已知数列a n的前 n 项为和 Sn，点 在直线 上.数列b n满足),(n
8、21xy，前 9 项和为 153.1),(023*1 bNbbnn 且（）求数列a n、b n的通项公式；（）设 ，数列c n的前 n 和为 Tn，求使不等式 对一)2(nnac 57kTn切 都成立的最大正整数 k 的值.*N（）设 是否存在 ，使得).,2(,1)(*lnbNf *Nm成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.51mff参考答案一、选择题1D 2B 3D 4A 5C 6B 7A 8D二、填空题9i 102 112 1216， 3213 ， （4，6）或（4，6） 1413三、解答题15解：（）因为 2)(baxf1)cos,()sin,coxx2 分(2xxcos
9、incos14 分in6 分)42(所以 的最小正周期是 7 分)(xf .T（）依条件得 9 分).(232Zkxk解得 11 分).(8783Zk又 .815,0 xxx所 以即当 时，f(x )的单调减区间是 13 分2 .,7,316解：（）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜 1 场，第三场甲获胜，其概率为4 分.2806.4.012CP（）乙队以 2：0 获胜的概率为 ；6.04P 乙队以 2：1 获胜的概率为 192.046.012CP乙队获胜的概率为 8 分352.0.64.2 （）若三场两胜，则甲获胜的概率48.02.36.0.60.123 CP或 ;4835若五场三胜，则甲获胜
10、的概率6.04.6.0.6.0 224233 C12 分8573591，3P采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大. 13 分17方法一：（）因为 E、F 分别是棱 AD、CD 的中点，所以 EFAC.所以BCA 是 EF 与 BC 所成角. 2 分正四面体 ABCD，ABC 为正三角形，所以BCA = 60.即 EF 与 BC 所成角的大小是 60 3 分（）解法 1：如图，连结 AO，AF，因为 F 是 CD 的中点，且ACD，BCD 均为正三角形，所以 BFCD，AFCD.因为 BFAF = F ，所以 CD面 AFB.因为 CD 在 ACD，所以面 AFB 面 ACD.因为 ABCD 是正
11、四面体，且 O 是点 A 在面 BCD 内的射影，所以点 O 必在正三角形 BCD 的中线 BF 上，在面 ABF 中，过 O 做 OGAF，垂足为 G，所以 OG在 ACD.即 OG 的长为点 O 到面 ACD 的距离.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,在ABF 中,容易求出 AF = BF= ，OF= ，AO = ，2363因为AOF OGF，故由相似比易求出 OG = .96所以点 O 到平面 ACD 的距离是 8 分.解法 2：如图，连结 AO，CO，DO，所以点 O 到平面 ACD 的距离就是三棱锥OACD 底面 ACD 上的高 h.与解法 1 同理容易求出 OF= ，AO =
12、，63所以 VACOD = .2)12(3因为 VOACD = VACOD，所以 = VOACD = 62).3(h解得 .9h（）设ABD 中，AB 边的中线交 BE 于 H，连结CH，则由 ABCD 为正四面体知 CH面 ABD.设 HD 的中点为 K，则 FK CH。所以 FK面 ABD.在面 ABD 内，过点 K 作 KNAD，KN 交 BE 于 M，交 AB 于 N，因为 BEAD，所以 NMBE.连结 FM，所以 FMBE.所以NMF 是所求二面角的平面角.因为 FK = CH = ，2163MK = ED = AD = ，4所以 .32tanMKF所以 .362)tan(tanF
13、MKN所以所求二面角的大小为 13 分.rcta（或者由正四面体的对称性，可转求二面角 CBFE 的大小）方法二：如图，以点 A 在面 BCD 的射影 O 为坐标原点，有向直线 OA 为 z 轴，有向直线 BF 为 y 轴，x 轴为过点O 与 DC 平行的有向直线.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1，所以可以求出各点的坐标依次为：O（0,0,0） ，A（0,0, ） ，B（0, ,0）363C（ ） ，D（ ） ，0,210,21E（ ） ，F（ ）6,34,3（）因为 )0,231(),6,12(BC又 ，1|,2|1|,4834 BCAEFBCEF且所以 .21,cos所以 EF 与 BC 所成角的大小是 60. 3 分（）因为 ，)63,21(),63,21( ADAC设平面 ACD 的一个法向量为 ，,1zyxFC由 ).2,0(,0,0 ADADACDF解 得因为 ，23|,),063,( ACDACDFOF所以点 O 到平面 ACD 的距离等于 8 分.96| ACDd（）因为 ，)3,621(),36,0( AB设平面 ABD 的一个法向量为 ，,zyxFABD由 ，0,0ABDF可得一个法向量 )1,26(同理可以求出平面 BE
