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1、 北京市朝阳区高三第一次统一考试数 学 试 题(理科)2007.4(考试时间 120 分钟,满分 150 分)第卷(选择题,共 40 分)1设集合 U = R,集合 M = x| x 0, N = x | x2 x,则下列关系中正确的是 ( )A BNMC D)()(U NCU)(2在ABC 中,sin 2A = sin 2B 是 A = B 的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知 a、b 是两条不重合的直线,、 是两个不重合的平面,给出四个命题:ab,b,则 a;a、 ,a ,b ,则 ;a 与 成 30的角,ab,则 b 与 成 60的角;
2、a,b,则 ab.其中正确命题的个数是 ( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个4已知等比数列a n的前 n 项为 Sn,S 3 = 3,S 6 = 27,则此等比数列的公比 q 等于 ( )A2 B 2 C D125从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师,派往郊区 3 所学校支教,每校 1 人.要求这3 位教师中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( )A210 种 B 186 种 C180 种 D90 种6已知函数 在区间 M 上的反函数是其本身,则 M 可以是 ( 24)(xf)A2,2 B 2,0 C0,2 D 0,27已知椭圆的焦点是 F1、F 2,P 是椭圆上的
3、一个动点,过点 F2 向F 1PF2 的外角平分线作垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是 ( )A圆 B椭圆 C直线 D双曲线的一支8已知计算机中的某些存储器有如下特性:若存储器中原有数据个数为 m 个,则从存储器中取出 n 个数据后,此存储器中的数据个数为 mn 个;若存储器中原有数据为 m 个,则将 n 个数据存入存储器后,此存储器中的数据个数为 m + n 个.现已知计算机中 A、B、C 三个存储器中的数据个数均为 0,计算机有如下操作:第一次运算:在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于 2 的数据;第二次运算:从 A 存储器中取出 2 个数据,将这 2 个数据存入 B 存储器中;第三
4、次运算:从 C 存储器中取出 1 个数据,将这 1 个数据存入 B 存储器中;第四次运算:从 B 存储器中取出 A 存储器中个数相同的数据,将取出的数据存入 A 存储器,则这时存储器中的数据个数是 ( )A8 B 7 C6 D5第卷(非选择题,共 110 分)二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案填在题中横线上.9设复数 ,则 等于 .iziz2,121z10若(1ax) 6 的展开式中 x4 的系数是 240,则实数 a 的值是 .11圆 x2 + y2 + 4x2y + 4 = 0 上的点到直线 xy 1 = 0 的最大距离与最小距离的差为 .12已知一个球与
5、一个二面角的两个半平面都相切,若球心到二面角的棱的距离是 ,切5点到二面角棱的距离是 1,则球的表面积是 ,球的体积是 .13已知向量 a =(2,3), ,且 ab,则|a| = ,b 的坐标是 .32|b14已知函数 且不等式 的解集是 ,则),1(|)(xxf axf)(2,0,实数 a 的值是 .三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 (本小题满分 13 分)已知向量 ,函数)cos,(),sin(coxbx .12)(baxf()求函数 f(x)的最小正周期;20070410 ()当 时,求 f(x)的单调减区间.2,0x16 (本
6、小题满分 13 分)甲、乙两支篮球队进行比赛,已知每一场甲队获胜的概率为 0.6,乙队获得的概率为 0.4,每场比赛均要分出胜负,比赛时采用三场两胜制,即先取得两场胜利的球队胜出.()求甲队以二比一获胜的概率;()求乙队获胜的概率;()若比赛采用五场三胜制,试问甲获胜的概率是增大还是减小,请说明理由.17 (本小题满分 13 分)如图,棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E、F 分别是棱 AD、CD 的中点,O 是点A 在平面 BCD 内的射影.()求直线 EF 与直线 BC 所成角的大小;()求点 O 到平面 ACD 的距离;()求二面角 ABEF 的大小.18 (本小题满分 13 分)已
7、知函数 处有极值, 处的切线 l 不1)(23xcbaxf 在 2)(xf在过第四象限且倾斜角为 ,坐标原点到切线 l 的距离为4.2()求 a、b、c 的值;()求函数 上的最大值和最小值.23,1)(在 区 间xfy 2007041019 (本小题满分 14 分)已知双曲线的中心在原点 O,右焦点为 F(c,0 ) ,P 是双曲线右支上一点,且OEP 的面积为 .26()若点 P 的坐标为 ,求此双曲线的离心率;)3,(()若 ,当 取得最小值时,求此双曲线的方程.216cFO |OP20 (本小题满分 14 分)已知数列a n的前 n 项为和 Sn,点 在直线 上.数列b n满足),(n
8、21xy,前 9 项和为 153.1),(023*1 bNbbnn 且()求数列a n、b n的通项公式;()设 ,数列c n的前 n 和为 Tn,求使不等式 对一)2(nnac 57kTn切 都成立的最大正整数 k 的值.*N()设 是否存在 ,使得).,2(,1)(*lnbNf *Nm成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.51mff参考答案一、选择题1D 2B 3D 4A 5C 6B 7A 8D二、填空题9i 102 112 1216, 3213 , (4,6)或(4,6) 1413三、解答题15解:()因为 2)(baxf1)cos,()sin,coxx2 分(2xxcos
9、incos14 分in6 分)42(所以 的最小正周期是 7 分)(xf .T()依条件得 9 分).(232Zkxk解得 11 分).(8783Zk又 .815,0 xxx所 以即当 时,f(x )的单调减区间是 13 分2 .,7,316解:()甲队以二比一获胜,即前两场中甲胜 1 场,第三场甲获胜,其概率为4 分.2806.4.012CP()乙队以 2:0 获胜的概率为 ;6.04P 乙队以 2:1 获胜的概率为 192.046.012CP乙队获胜的概率为 8 分352.0.64.2 ()若三场两胜,则甲获胜的概率48.02.36.0.60.123 CP或 ;4835若五场三胜,则甲获胜
10、的概率6.04.6.0.6.0 224233 C12 分8573591,3P采用五场三胜制,甲获胜的概率将增大. 13 分17方法一:()因为 E、F 分别是棱 AD、CD 的中点,所以 EFAC.所以BCA 是 EF 与 BC 所成角. 2 分正四面体 ABCD,ABC 为正三角形,所以BCA = 60.即 EF 与 BC 所成角的大小是 60 3 分()解法 1:如图,连结 AO,AF,因为 F 是 CD 的中点,且ACD,BCD 均为正三角形,所以 BFCD,AFCD.因为 BFAF = F ,所以 CD面 AFB.因为 CD 在 ACD,所以面 AFB 面 ACD.因为 ABCD 是正
11、四面体,且 O 是点 A 在面 BCD 内的射影,所以点 O 必在正三角形 BCD 的中线 BF 上,在面 ABF 中,过 O 做 OGAF,垂足为 G,所以 OG在 ACD.即 OG 的长为点 O 到面 ACD 的距离.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,在ABF 中,容易求出 AF = BF= ,OF= ,AO = ,2363因为AOF OGF,故由相似比易求出 OG = .96所以点 O 到平面 ACD 的距离是 8 分.解法 2:如图,连结 AO,CO,DO,所以点 O 到平面 ACD 的距离就是三棱锥OACD 底面 ACD 上的高 h.与解法 1 同理容易求出 OF= ,AO =
12、,63所以 VACOD = .2)12(3因为 VOACD = VACOD,所以 = VOACD = 62).3(h解得 .9h()设ABD 中,AB 边的中线交 BE 于 H,连结CH,则由 ABCD 为正四面体知 CH面 ABD.设 HD 的中点为 K,则 FK CH。所以 FK面 ABD.在面 ABD 内,过点 K 作 KNAD,KN 交 BE 于 M,交 AB 于 N,因为 BEAD,所以 NMBE.连结 FM,所以 FMBE.所以NMF 是所求二面角的平面角.因为 FK = CH = ,2163MK = ED = AD = ,4所以 .32tanMKF所以 .362)tan(tanF
13、MKN所以所求二面角的大小为 13 分.rcta(或者由正四面体的对称性,可转求二面角 CBFE 的大小)方法二:如图,以点 A 在面 BCD 的射影 O 为坐标原点,有向直线 OA 为 z 轴,有向直线 BF 为 y 轴,x 轴为过点O 与 DC 平行的有向直线.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,所以可以求出各点的坐标依次为:O(0,0,0) ,A(0,0, ) ,B(0, ,0)363C( ) ,D( ) ,0,210,21E( ) ,F( )6,34,3()因为 )0,231(),6,12(BC又 ,1|,2|1|,4834 BCAEFBCEF且所以 .21,cos所以 EF 与 BC 所成角的大小是 60. 3 分()因为 ,)63,21(),63,21( ADAC设平面 ACD 的一个法向量为 ,,1zyxFC由 ).2,0(,0,0 ADADACDF解 得因为 ,23|,),063,( ACDACDFOF所以点 O 到平面 ACD 的距离等于 8 分.96| ACDd()因为 ,)3,621(),36,0( AB设平面 ABD 的一个法向量为 ,,zyxFABD由 ,0,0ABDF可得一个法向量 )1,26(同理可以求出平面 BE