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1、5月大数据精选模拟卷01(新课标卷)文科数学本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则( )ABCD【答案】D【详解】解:由,得,或,所以,故选:D2若复数满足,其中为虚数单位,则复数的虚部是( )A2BCD【答案】C【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.3已知,则“”是“的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D即不充分也不必要条件【答案】B【详解】由于,所以成立,即充分性成立;举出反例,满足,但不成立,即必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件,故选:B.4某三棱锥
2、的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,该三棱锥所有表面中,最大的面积为( )A2BCD【答案】C【详解】结合正方体,作出三棱锥(它在正方体中位置),与正方体的右侧面垂直,则与平面内的直线垂直,同理,最大为故选:C5将函数的图象上所有的点横坐标扩大为原来的倍得的图象,若在上单调递减,则的取值范围是( )ABCD【答案】C【详解】,当时,又在上单调递减,解得:,当时,满足题意,即.6已知的外接圆半径为1,圆心为,且,则的值为( )ABCD【答案】A【详解】由题设,两边平方可得,所以,构成直角三角形.,夹角,夹角,.故选:A7若正整数除以正整数得到的余数为,则记为,例如.如图所示的程序框
3、图的算法源于我国古代的中国剩余定理.执行该程序框图,则输出的( )A109B121C107D124【答案】B【详解】依次执行程序框图:,不满足,不满足,满足,不满足,不满足,不满足,不满足,满足输出8为了让学生了解社会,拓宽视野,丰富知识,提高社会实践能力和综合素质,哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度(单位:)的社会实践活动.利用所学习的数学知识,同学们作出了样本的频率分布直方图.现在,由于原始数据不全,只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值(同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替).则估计的平均值为( )ABCD【答案】A【详解】所给数据频率之和为则估计的平均值为9
4、已知锐角的角,所对的边分别为,且,则的取值范围为( )ABCD【答案】A【详解】因为,由正弦定理可得,显然,可得,又由,即,可得,同理,可得,即,且,解得,综合得,10已知直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A,两点,点的坐标为,若,则该双曲线的离心率是( )ABCD【答案】C【详解】双曲线的渐近线方程为:,由,设点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点Q(x0,y0),因,则PQAB,所以直线PQ斜率为-2,即:,双曲线的离心率e有.11三棱锥中,则异面直线与所成的角可能是( )A30B45C60D75【答案】B【详解】设.由于,将侧面沿展开到平面,则三点共线,又此三棱锥可看成将沿直
5、线翻折而成的,故不难可得.设异面直线与所成的角为,则,即.12设,则( )ABCD【答案】B【详解】由题意易得:,又,综上:二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知角的顶点为原点,始边为的正半轴,其终边上一点的坐标为,则_【答案】1【详解】依题意有,14点满足,则由点构成的平面区域的面积是_.【答案】2【详解】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影所示:由,解得;由,解得;由,解得;因为直线与直线互相垂直,且,所以由点构成的平面区域的面积是.15某班40名学生,在一次考试中统计所得平均分为80分,方差为70,后来发现有两名同学的成绩有损,甲实得80分错记为60分,乙实得70分错记
6、为90分,则更正后的方差为_【答案】60【详解】因为甲实得分,记为分,少记分,乙实得分,记为分,多记分,所以总分没有变化,因此更正前后的平均分没有变化,都是分,设甲乙以外的其他同学的成绩分别为,因为更正前的方差为,所以,所以,更正后的方差为:,所以更正后的方差为,16以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点,交轴于点,若,则_.【答案】3【详解】依题意可得,设,则,因为,所以,所以,又,所以,所以,所以,解得,所以.三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在中,角 ,所对边分别为,且.(1)求角;(2)若向量,求的取值范围.【详解】解:(1)由,及正弦定
7、理,得,即,即,所以,.(2),所以,由于,得,所以.18网购是当前人们购物的新方式,某公司为了改进营销方式,随机调查了100名市民,统计了不同年龄的人群网购的人数如下表:年龄段(岁)(0,20)20,40)40,60)60,100)网购人数2632348男性人数1510105(1)若把年龄在20,60)的人称为“网购迷”,否则称为“非网购迷”,请完成下面的22列联表,并判断能否有99把握认为网购与性别有关?网购迷非网购迷总计男性女性总计(2)若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人,再从中抽取两人,求两人年龄都小于20岁的概率.附:0.100.050.010.0012.7063
8、.8416.63510.828【详解】(1)由题中信息可完善22列联表如下表所示:网购迷非网购迷总计男性202040女性461460总计6634100计算得,故有99把握认为网购与性别有关;(2)年龄在(0,20)、20,40)网购男性分别有15人、10人.按分层抽样的方法随机抽取5人,年龄段(0,20)应抽取3人,分别记为1、2、3;年龄段20,40)应抽取2人,分别记为a、b,从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共10个:(1,2)、(1,3)、(1,a)、(1,b)、(2,3)、(2,a)、(2,b)、(3,a)、(3,b)、(a,b).用A表示“两人年龄都小于20岁”这一事件
9、,则事件A由3个基本事件组成:(1,2)、(1,3)、(2,3). 故事件A的概率为.19如图(1),平面四边形中,将沿边折起如图(2),使_,点,分别为,中点在题目横线上选择下述其中一个条件,然后解答此题为四面体外接球的直径平面平面(1)判断直线与平面的位置关系,并说明理由;(2)求三棱锥的体积【详解】(1)若选:,在中,可得,又由,所以,所以,因为,且,平面,所以平面,又因为平面,所以,又由,且平面,所以平面,又因为,分别为,中点,所以,所以平面若选:为四面体外接球的直径,则,因为,可证得平面,又,分别为,中点,所以平面若选:平面平面,平面平面,因为,且平面,所以平面,又由平面,所以,因为
10、,且平面,所以平面,又因为,分别为,中点,所以平面(2)由(1)知平面,其中为直角三角形,可得,故三棱锥的体积为20已知椭圆的左右顶点分别是点,直线与椭圆相交于,两个不同点,直线与直线的斜率之积为,的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点是直线的一个动点(不在轴上),直线与椭圆的另一个交点为,过作的垂线,垂足为,在轴上是否存在定点,使得为定值,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【详解】解:(1)设,由题意得,椭圆的方程为;(2)假设存在这样的点,设直线与轴相交于点,由题意得,由(1)得,设,由题意可设直线的方程为,由,得,或(舍去),直线过定点,存在定点,使得.21记,为的导函
11、数若对,则称函数为上的“凸函数”已知函数,(1)若函数为上的凸函数,求的取值范围;(2)若函数在上有极值,求的取值范围【详解】(1),若函数为上的凸函数,则,即,令,则当时,当时,;当时,;当时,单调递减;当时,单调递增,解得:,的取值范围为.(2),在上有极值,在有变号零点,令,则,在上单调递增,;当,即时,在上单调递增,即,在无零点,不合题意;当,即时,则,使得,当时,单调递减,又,当时,在上无零点;当时,单调递增,又时,在上有零点,且在零点左右两侧符号相反,即该零点为的变号零点,在上有极值;综上所述:的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则
12、按所做的第一个题目计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为(1)若曲线为双曲线,求实数的取值范围;(2)以极点为原点,极轴为正半轴建立直角坐标系当时,过点作直线交曲线于,两点,若,求直线的倾斜角【详解】(1)由得,即,若为双曲线,则,故的取值范围为(2)当时,由(1)得设直线倾角为,参数方程为(为参数),则,即,又,三点共线,且,解得,(舍去),或,故直线的倾斜角为或23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数,.(1)若,且恒成立,求实数的最大值;(2)若,求的最大值.【详解】(1)由题意,当且仅当时,取等号;所以,因为恒成立,只需,即,所以实数的最大值为.(2)由柯西不等式,当且仅当,即时,等号成立,所以的最大值为.