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1、5月大数据精选模拟卷01（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【详解】解：由，得，或，所以，故选：D2若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A2BCD【答案】C【详解】因为，所以，所以复数的虚部为.3已知，则“”是“的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D即不充分也不必要条件【答案】B【详解】由于，所以成立，即充分性成立；举出反例，满足，但不成立，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：B.4某三棱锥
2、的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面中，最大的面积为（ ）A2BCD【答案】C【详解】结合正方体，作出三棱锥（它在正方体中位置），与正方体的右侧面垂直，则与平面内的直线垂直，同理，最大为故选：C5将函数的图象上所有的点横坐标扩大为原来的倍得的图象，若在上单调递减，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【详解】，当时，又在上单调递减，解得：，当时，满足题意，即.6已知的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为（ ）ABCD【答案】A【详解】由题设，两边平方可得，所以，构成直角三角形.，夹角，夹角，.故选：A7若正整数除以正整数得到的余数为，则记为，例如.如图所示的程序框
3、图的算法源于我国古代的中国剩余定理.执行该程序框图，则输出的（ ）A109B121C107D124【答案】B【详解】依次执行程序框图：，不满足，不满足，满足，不满足，不满足，不满足，不满足，满足输出8为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度(单位：)的社会实践活动.利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图.现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值(同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替).则估计的平均值为（ ）ABCD【答案】A【详解】所给数据频率之和为则估计的平均值为9
4、已知锐角的角，所对的边分别为，且，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，由正弦定理可得，显然，可得，又由，即，可得，同理，可得，即，且，解得，综合得，10已知直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，两点，点的坐标为，若，则该双曲线的离心率是( )ABCD【答案】C【详解】双曲线的渐近线方程为：，由，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB中点Q(x0,y0)，因，则PQAB，所以直线PQ斜率为-2，即：，双曲线的离心率e有.11三棱锥中，则异面直线与所成的角可能是（ ）A30B45C60D75【答案】B【详解】设.由于，将侧面沿展开到平面，则三点共线，又此三棱锥可看成将沿直
5、线翻折而成的，故不难可得.设异面直线与所成的角为，则，即.12设，则（ ）ABCD【答案】B【详解】由题意易得：，又，综上：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知角的顶点为原点，始边为的正半轴，其终边上一点的坐标为，则_【答案】1【详解】依题意有，14点满足，则由点构成的平面区域的面积是_.【答案】2【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：由，解得；由，解得；由，解得；因为直线与直线互相垂直，且，所以由点构成的平面区域的面积是.故答案为：2.15某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙
6、实得70分错记为90分，则更正后的方差为_【答案】60【详解】因为甲实得分，记为分，少记分，乙实得分，记为分，多记分，所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是分，设甲乙以外的其他同学的成绩分别为，因为更正前的方差为，所以，所以，更正后的方差为：，所以更正后的方差为，16以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，若，则_.【答案】3【详解】依题意可得，设，则，因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17数列中，是的前n项和，是等差数列，（1）求和的通项公式；（2）设求的前n项和.【详解】
7、（1）由数列中，满足，当时，两式相减，可得，即，当时，解得，所以数列是等比数列，所以数列的通项公式为.又由是等差数列，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以，可得令，则，两式相减，可得，所以，又因为，所以.18如图，三棱柱中，分别是和的中点，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）若底面，求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，.因为，分别是和的中点，故，故.又，故，故.又平面，所以平面.（2）由题意知，两两垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.则，.设为平面的法向量，则，
8、即，可取.设为平面的法向量，则，即，可取.所以.由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.19在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的两所同类学校的高三学年分别采用甲乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为及以上的学生为优秀学生，经统计得到两所学校抽取的学生中共有名优秀学生.（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在两个学校的高三学年随机抽取名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；（2）已知学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的，填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认
9、为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计附：，其中.【详解】由已知，学生为优秀的概率为，记优质学生数为，由题意知，的所有可能取值为，.则，.故的分布列为所以的数学期望为.填写列联表如下优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计计算，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.20已知椭圆的左右顶点分别是点，直线与椭圆相交于，两个不同点，直线与直线的斜率之积为，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点是直线的一个动点(不在轴上)，直线与椭圆的另一个交点为，过作的垂线，垂足为，在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出点的坐标
10、；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设，由题意得，椭圆的方程为；（2）假设存在这样的点，设直线与轴相交于点，由题意得，由（1）得，设，由题意可设直线的方程为，由，得，或(舍去)，直线过定点，存在定点，使得.21记，为的导函数若对，则称函数为上的“凸函数”已知函数，（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值，求的取值范围【详解】（1），若函数为上的凸函数，则，即，令，则当时，当时，；当时，；当时，单调递减；当时，单调递增，解得：，的取值范围为.（2），在上有极值，在有变号零点，令，则，在上单调递增，；当，即时，在上单调递增，即，在无零点，不合题意；当，即时，则，使得，当
11、时，单调递减，又，当时，在上无零点；当时，单调递增，又时，在上有零点，且在零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点，在上有极值；综上所述：的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为（1）若曲线为双曲线，求实数的取值范围；（2）以极点为原点，极轴为正半轴建立直角坐标系当时，过点作直线交曲线于，两点，若，求直线的倾斜角【详解】（1）由得，即，若为双曲线，则，故的取值范围为（2）当时，由（1）得设直线倾角为，参数方程为（为参数），则，即，又，三点共线，且，解得，（舍去），或，故直线的倾斜角为或23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数，.（1）若，且恒成立，求实数的最大值；（2）若，求的最大值.【详解】（1）由题意，当且仅当时，取等号；所以，因为恒成立，只需，即，所以实数的最大值为.（2）由柯西不等式，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.
