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1、 第1页（共17页） 2021 年七年级下期末数学备考之几何综合年七年级下期末数学备考之几何综合 1如图，CE 是ACD 的平分线，过点 A 作 CD 的平行线交 CE 于点 B （1）补全图形； （2）求证：ACBABC； （3）点 P 是射线 CE 上的一点（点 P 不与点 B 和点 C 重合） ，连接 AP，PCD， PAB，APC，请直接写出 ， 与 之间的数量关系 【分析】 （1）根据题意作出平行线便可； （2）由平行线的性质得ABCBCD，再根据角平分线定义得ACBBCD，进而 由等量代换得结果； （3）分两种情况：P 点在 B、C 之间时；P 点在 CB 的延长线上时分别写出关系
2、式 【解答】解： （1）根据题意作图如下， （2）ABCD， ABCBCD， ACBBCD， ACBABC； （3）当点 P 在 B、C 两点之间时，+，如图 2，过 P 点作 PQAC 于点 Q， 第2页（共17页） CPQPCD，APQBAP， CPQ+APQ+， APC+，即 +； 当点 P 在 CB 的延长线上时，如图 3，过 P 作 PQAC 于点 Q， CPQPCD，APQBAP， CPQAPQ， APC，即 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，第（2）题关键是分情况讨论 2已知：如图 1，ABCD，点 E，F 分别为 AB，CD 上一点 （1）在 AB，CD 之间有
3、一点 M（点 M 不在线段 EF 上） ，连接 ME，MF，试探究AEM， EMF，MFC 之间有怎样的数量关系请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关 系，选其中一个进行证明 （2）如图 2，在 AB，CD 之间有两点 M，N，连接 ME，MN，NF，请选择一个图形写出 AEM，EMN，MNF，NFC 存在的数量关系（不需证明） 第3页（共17页） 【分析】 （1）过点 M 作 MPAB根据平行线的性质即可得到结论； （2）根据平行线的性质即可得到结论 【解答】解： （1）EMFAEM+MFCAEM+EMF+MFC360 证明：过点 M 作 MPAB ABCD， MPCD 43 MPAB，
4、12 EMF2+3， EMF1+4 EMFAEM+MFC； 证明：过点 M 作 MQAB ABCD， MQCD CFM+1180； MQAB， AEM+2180 CFM+1+AEM+2360 EMF1+2， AEM+EMF+MFC360； （2）如图 2 第一个图：EMN+MNFAEMNF C180； 第4页（共17页） 如图 2 第二个图：EMNMNF+AEM+NFC180 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 3在ABC 中，BD 是ABC 的角平分线，点 E 在射线 DC 上，EFBC 于点 F，EM 平分 AEF 交直线 AB 于点 M （1）如图 1，点
5、E 在线段 DC 上，若A90，M AEF 1802 ； （用含 的式子表示） 求证：BDME； （2）如图 2，点 E 在 DC 的延长线上，EM 交 BD 的延长线于点 N，用等式表示BNE 与BAC 的数量关系，并证明 【分析】 （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； 根据垂直的定义得到EFC90， 求得ABC2， 根据角平分线的定义得到ABD ABC，求得ABDM，于是得到结论； （2）设ABDx，AEMy，根据角平分线的定义得到ABC2x，AEF2y，求 得 xyENDBAD，得到 2x2yEFCBAC，于是得到结论 【解答】解： （1）A90，M， AEM180
6、9090， EM 平分AEF， 第5页（共17页） AEF2AEM1802， 故答案为：1802； 证明：EFBC， EFC90， A90， C+ABC90， CEFABC， AEF1802， CEF2， ABC2， BD 是ABC 的角平分线， ABDABC， ABDM， BDME； （2）2BNE90+BAC， 证明：BD 平分ABC，EM 平分AEF， 设ABDx，AEMy， ABC2x，AEF2y， ABD+BAD180ADB， NED+END180NDE， ADBNDE， ABD+BADNED+END， x+BADy+END， xyENDBAD， 同理，ABC+BACFEC+EFC，
7、 2x+BAC2y+EFC， 2x2yEFCBAC， EFBC， EFC90， 第6页（共17页） 2（xy）90BAC， 2（ENDBAD）90BAC， 即 2（BNEBAC）90BAC， 2BNE90+BAC 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，正确的识 别图形是解题的关键 4如图，已知任意三角形 ABC，过点 C 作 DEAB （1）如图，求证：三角形 ABC 的三个内角（即A，B，ACB）之和等于 180； （2）如图，ABCD，CDE110，GF 交DEB 的平分线 EF 于点 F，且AGF 145，结合（1）中的结论，求F 的度数 【分析】 （1）利
8、用平行线的性质，根据平角为 180证明三角形内角和定理； （2）根据BEFF+EGF，想办法求出EGF，BEF 即可解决问题 【解答】 （1）证明：DEAB， ADCE，BECB， DCE180， DCA+ACB+ECB180， A+ACB+B180 （2）ABCD， CDEBED110， EF 平分BED， BEFBED55， AGF145， FGE35， BEFF+EGF， 第7页（共17页） F553520 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型 5线段 AB 与线段 CD 互相平行，P 是平面内的一点，且点 P 不在直线
9、 AB，CD 上，连接 PA，PD，射线 AM，DN 分别是BAP 和CDP 的平分线 （1）若点 P 在线段 AD 上，如图 1， 依题意补全图 1； 判断 AM 与 DN 的位置关系，并证明； （2）是否存在点 P，使 AMDN？若存在，直接写出点 P 的位置；若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据题意作出图形便可； 由角平分线定义得DAM，由平行线的性质得BAD CAD，进而得DAMADN，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （2）当 P 点在 AD 直线上，位于 AB 与 CD 两平行线之外时，AMDN 【解答】解： （1）根据题意作出图形如下： AMDN 证明：AM 平分BAD
10、，DN 平分CDA， DAM， ABCD， BADCDA， DAMADN， AMDN； 第8页（共17页） （2）当 P 点在 AD 直线上，位于 AB 与 CD 两平行线之外时，AMDN 证明：如下图， ABCD， PAFPDC， PAF+PAB180， PDC+PAB180， AM 平分BAP，DN 平分CDA， BAM， CDN+BAM90， ABCD， AFDCDN， EAFBAM， AFE+EAF90， AEF90， AMDN 【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键熟记和正确理解平行的性质与判定 6阅读下面材料： 彤彤遇到这样一个问题： 已知：如图甲，ABCD，E 为 AB，CD
11、之间一点，连接 BE，DE，得到BED 求证：BEDB+D 彤彤是这样做的： 过点 E 作 EFAB， 则有BEFB 第9页（共17页） ABCD， EFCD FEDD BEF+FEDB+D 即BEDB+D 请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙 已知：直线 ab，点 A，B 在直线 a 上，点 C，D 在直线 b 上，连接 AD，BC，BE 平分 ABC，DE 平分ADC，且 BE，DE 所在的直线交于点 E （1）如图 1，当点 B 在点 A 的左侧时，若ABC60，ADC70，求BED 的度 数； （2）如图 2，当点 B 在点 A 的右侧时，设ABC，ADC，直接写出BED 的度
12、 数（用含有 ， 的式子表示） 【分析】 （1）如图 1，过点 E 作 EFAB，当点 B 在点 A 的左侧时，根据ABC60， ADC70，参考彤彤思考问题的方法即可求BED 的度数； （2）如图 2，过点 E 作 EFAB，当点 B 在点 A 的右侧时，ABC，ADC，参 考彤彤思考问题的方法即可求出BED 的度数 【解答】解： （1）如图 1，过点 E 作 EFAB， 有BEFEBA ABCD， EFCD FEDEDC BEF+FEDEBA+EDC 即BEDEBA+EDC， BE 平分ABC，DE 平分ADC， 第10页（共17页） EBAABC30，EDCADC35， BEDEBA+E
13、DC65 答：BED 的度数为 65； （2）如图 2，过点 E 作 EFAB， 有BEF+EBA180 BEF180EBA， ABCD， EFCD FEDEDC BEF+FED180EBA+EDC 即BED180EBA+EDC， BE 平分ABC，DE 平分ADC， EBAABC，EDCADC， BED180EBA+EDC180+ 答：BED 的度数为 180+ 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与 性质 7问题情境：如图 1，ABCD，PAB130，PCD120，求APC 的度数 小明的思路是：过 P 作 PEAB，通过平行线性质来求APC （1）按
14、小明的思路，易求得APC 的度数为 110 度； （2）问题迁移：如图 2，ABCD，点 P 在射线 OM 上运动，记PAB，PCD， 当点 P 在 B、D 两点之间运动时，问APC 与 、 之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点 P 在 B、D 两点外侧运动时（点 P 与点 O、B、D 三点不 第11页（共17页） 重合） ，请直接写出APC 与 、 之间的数量关系 【分析】 （1）过 P 作 PEAB，通过平行线性质求APC 即可； （2）过 P 作 PEAB 交 AC 于 E，推出 ABPEDC，根据平行线的性质得出 APE，CPE，即可得出答案； （3）分两种情
15、况：P 在 BD 延长线上；P 在 DB 延长线上，分别画出图形，根据平行线 的性质得出APE，CPE，即可得出答案 【解答】 （1）解：过点 P 作 PEAB， ABCD， PEABCD， A+APE180，C+CPE180， PAB130，PCD120， APE50，CPE60， APCAPE+CPE110 （2）APC+， 理由：如图 2，过 P 作 PEAB 交 AC 于 E， ABCD， ABPECD， APE，CPE， APCAPE+CPE+； 第12页（共17页） （3）如图所示，当 P 在 BD 延长线上时， CPA； 如图所示，当 P 在 DB 延长线上时， CPA 【点评】
16、本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目 是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用 8如图：点 A，B，C 分别是MON 的边 OM，ON 上的点连接 AB，AC，过 B 点作 BE AC 交 AO 于点 E，点 D 是线段 BC 上任意一点，过点 D 作 DFAB 交线段 AC 于点 F （1）补全图形； （2）请判断ABE 与CFD 的关系，并证明你的结论 【分析】 （1）连接 AB，AC，过 B 点作 BEAC 交 AO 于点 E，点 D 是线段 BC 上任意一 点，过点 D 作 DFAB 交线段 AC 于点 F 即可 （2）依据平行线的性质，即可得到ABE 与CFD 的关系 【解答】解： （1）如图所示： 第13页（共17页） （2）ABE 与CFD 的关系为：ABECFD 证明：BEAC， ABEBAC， DFAB， CFDBAC， ABECFD 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直 线平行，内错角相等 9如图，已知C+EEAB，求证：ABCD 【分析】如图，延长 EA 交 CD 于 H根据三角形外角的
