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1、同济大学线性代数期终试卷1 ( 2学时) 本试卷共七大题 一、 填空题 (本大题共7个小题,满分25分): 1. (4分) 设 阶 实对称矩阵 的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 , 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是( ); 2. (4分) 设 阶矩阵 的特征值为 , , , , 其中 是 的伴随矩阵, 则 的行列式 ( ); 3. (4分) 设 , , 则 ( ); 4. (4分) 已知 维列向量组 所生成 的向量空间为 , 则 的维数 dim ( ); 5. (3分) 二次型 经过正交变换可化为 标准型 , 则 ( ); 6. (3分) 行列式 中 的系数是( ) ; 7.
2、 (3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 , 已知 是它的 个解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是( )。 二、 计算行列式: (满分10分) 三、设 , , 求 。 (满分10分) 四、 取何值时, 线性方程组 无解或有解? 有解时求出所有解(用向量形式表示)。 (满分15分) 五、设向量组 线性无关 , 问: 常数 满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型 , (1) 写出二次型 的矩阵表达式; (2) 求一个正交变换 ,把 化为标准形, 并写该标准型; (3) 是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题(本大题共 2个小题,满分
3、15分):1 (7分)设向量组 线性无关 , 向量 能由 线性表示 , 向量 不能由 线性表示 . 证明: 向量组 也线性无关。 2. (8分) 设 是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。 同济大学线性代数期终试卷2( 2学时) 本试卷共八大题 一、 是非题(判别下列命题是否正确,正确的在括号内打 ,错误的在括号内打 ; 每小题2 分,满分20 分): 1. 若 阶方阵 的秩 ,则其伴随阵 。 ( ) 2. 若 矩阵 和 矩阵 满足 ,则 。 ( ) 3. 实对称阵 与对角阵 相似: ,这里 必须是正交阵 。 ( ) 4. 初等矩阵都是可逆阵,并且其逆阵都是它们本身
4、。 ( ) 5. 若 阶方阵 满足 ,则对任意 维列向量 ,均有 。 ( ) 6. 若矩阵 和 等价,则 的行向量组与 的行向量组等价 。 ( ) 7. 若向量 线性无关,向量 线性无关,则 也线性无关。 ( ) 8. 是 矩阵,则 。 ( ) 9. 非齐次线性方程组 有唯一解,则 。 ( ) 10. 正交阵的特征值一定是实数。 ( ) 二、 设 阶行列式: 试建立递推关系,并求 。 (满分10分) 三、设 , ,并且 ,求 (满分10分) 四、设 ,矩阵 满足 ,其中 是 的伴随阵,求 。 (满分10分) 五、讨论线性方程组 的解的情况,在有解时求出通解。 (满分12分) 六、求一个正交变换 ,将二次型 化为标准形。 (满分14分) 七、已知 ,由它们生成的向量空间记为 , 为所有 3维列向量构成的向量空间,问: 1 取何值时, 但 ,为什么? 2 取何值时, ,为什么? ( 满分 12 分 ) 八、证明题(本大题共2个小题,满分12分):1若2阶方阵满足 ,证明 可与对角阵相似。 2. 若 是正定阵,则其伴随阵 也是正定阵。