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1、第18讲相似三角形知识点1比例线段1若，则的值为(D)A. B. C. D.2如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是(A)A.B.C.D.知识点2平行线分线段成比例3如图，已知直线abc，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则(B)A.B.C.D1知识点3相似三角形的性质4已知ABCDEF，且ABC与DEF的相似比为41，则ABC与DEF对应边上的高之比为41，ABC与DEF对应边上的中线的比为41，ABC与DEF对应角的角平分线的比为41，ABC与DEF的周长之比为41，A
2、BC与DEF的面积之比为161知识点4相似三角形的判定5如图，点P在ABC的边AC上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是(D)AABPCBAPBABCC.D.6如图，在ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC.证明：DEBC，AEDC.又EFAB，AFEC.ADEEFC.知识点5相似多边形7如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为21，则下列结论正确的是(B)AE2KBBC2HIC六边形ABCDEF的周长六边形GHIJKL的周长DS六边形ABCDEF2S六边形GHIJKL重难点1相似三角形的性质与判定(2017杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC
3、，AB上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAFGAC.(1)求证：ADEABC；(2)若AD3，AB5，求的值【思路分析】(1)根据等角的余角相等可得AEDACB，又EAD与CAB是公共角，进而可证明ADEABC；(2)由(1)可得，又易证EAFCAG，所以，所以.【自主解答】(1)证明：AGBC，AFDE，AFEAGC90.EAFGAC，AEDACB.又EADBAC，ADEABC.(2)由(1)可知：ADEABC，.由(1)可知：AFEAGC90，又EAFGAC.EAFCAG.【变式训练1】(2016凉山)如图，ABC的面积为12 cm2，点D，E分别是AB，AC边的中点，则梯形DBCE的
4、面积为9cm2.,1判定三角形相似的思路：2由三角形相似证线段成比例的一般步骤：(1)先看要证的成比例线段，确定可能的相似三角形；(2)再找这两个三角形相似所需的条件；(3)如果这两个三角形不相似，那么采用其他方法(如找中间比代换等)3证明两组线段的积相等，常常将等积式化为等比式，然后找“平行或三角形相似”解决重难点2与相似三角形有关的证明与计算(2017眉山)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G.(1)求证：BGDE；(2)若点G为CD的中点，求的值【思路点拨】(1)利用ASA证明BCGDCE得到BGDE；(2
5、)设CG1，从而知CGCE1，由勾股定理可知：DEBG，易证ABHCGH，所以2，从而可求出HG的长度，进而求出的值【自主解答】(1)证明：BFDE，GFD90.BCG90，BGCDGF，CBGCDE.在BCG和DCE中，BCGDCE(ASA)BGDE.(2)设CG1，G为CD的中点，GDCG1.由(1)可知：BCGDCE，CGCE1.由勾股定理可知：DEBG.sinCDE，GF.ABCG，ABHCGH.BH，GH.【变式训练2】(2015泰安)如图，在ABC中，ABAC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且APDB.(1)求证：ACCDCPBP；(2)若AB10，BC12，当PDAB时，求B
6、P的长解：(1)证明：APCPABBAPDDPC，APDB，DPCPAB.ABAC，ABPPCD.ABPPCD.又ABAC，即ACCDCPBP.(2)PDAB，DPCB.又PABDPC，PABB.又BC，PABC.又PBAABC，PBAABC.BP.,解答相似三角形有关的问题时，要善于挖掘题中隐含的相似三角形的基本图形，从而将形的关系转化为对应边成比例的数的关系来求解1(2017兰州)已知2x3y(y0)，则下面结论成立的是(A)A. B.C. D.2(2017杭州)如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，若BD2AD，则(B)A. B.C. D. 第2题图 第3题图3(20
7、17连云港)如图，已知ABCDEF，ABDE12，则下列等式一定成立的是(D)A. B.C. D.4(2016湘西)如图，在ABC中，DEBC，DB2AD，ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(D)A3B5 C6D85(2017枣庄)如图，在ABC中，A78，AB4，AC6，将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)6(2017绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的
8、距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于(B)A10 m B12 mC12.4 m D12.32 m 第6题图 第7题图7(2017自贡)如图，在ABC中，MNBC分别交AB，AC于点M，N.若AM1，MB2，BC3，则MN的长为18(人教9下教材P42T4变式题)(2016临沂)如图，在ABC中，点D，E，F分别 在AB，AC，BC上，DEBC，EFAB.若AB8，BD3，BF4，则FC的长为 第8题图 第9题图9(2017潍坊)如图，在ABC中，ABAC，D，E分别为边A
9、B，AC上的点，AC3AD，AB3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：DFAC或BFDA(答案不唯一)，可以使得FDB与ADE相似(只需写出一个)10如图，OPQ在边长为1个单位长度的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与OPQ相似，那么这个三角形是CDB 第10题图 第11题图11(易错易混)如图，P是RtABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有3条12(2017江西)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，
10、且EFG90.求证：EBFFCG.证明：四边形ABCD为正方形，BC90.BEFBFE90.EFG90，BFECFG90.BEFCFG.EBFFCG.13(2017衢州)如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD.作BECD于点E，交半圆O于点F.已知CE12，BE9.(1)求证：CODCBE；(2)求半圆O的半径r的长解：(1)证明：CD切半圆O于点D，CDOD.CDO90.BECD，E90CDO.又CC，CODCBE.(2)在RtBEC中，CE12，BE9，BC15.CODCBE，即.解得r.14(2016山西)宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金
11、矩形黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GHAD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(D)A矩形ABFE B矩形EFCDC矩形EFGH D矩形DCGH15(易错易混)如图，在ABC中，C90，BC16 cm，AC12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA以1 cm/s的速度向点A移动，若点P，Q分别从点B，C同时出发，设运动时间为t s，当t或时，CPQ与CBA相似16(2017泰安)如图，四边形ABCD中，ABACAD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD.(1)证明：BDCPDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB1，CECP23，求AE的长解：(1)证明：ABAD，AC平分BAD，ACBD.ACDBDC90.ACAD，ACDADC.ADCBDC90.PDAD，ADPADCPDC90.BDCPDC.(2)过点C作CMPD于点M，BDCPDC，CECM.CMPADP90，PP，CPMAPD.设CMCEx，CECP23，PCx.ABADAC1，.解得x.AE1x1.
