《2020-2021学年高二数学下学期期末提优复习02 二项式定理（解析版）（苏教版选修2-3）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高二数学下学期期末提优复习02 二项式定理（解析版）（苏教版选修2-3）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20202021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习02 二项式定理【例题精讲】一、利用通项公式求二项式定理的特定项或系数问题公式：(n)这个公式表示的定理叫做二项式定理在上式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数(r0，1，n)叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即Tr12二项展开式形式上的特点（1）项数为n1（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n（4）二项式系数从，一直到，3“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）“杨辉
2、三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和（2）对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即（3）增减性与最大值：二项式系数，当k时，二项式系数逐渐增大；当k时，二项式系数逐渐减小当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大（4）各二项式系数的和：的展开式的各项二项式系数之和为，即（5）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即（一）求展开式的特定项或系数例1（1）展开式中第6项的二项式系数为A B C D【答案】C【解析】由已知得通项为：，故第六项的二项式系数为：（2）展开式中的常数项是ABC9
3、0D270【答案】A【解析】的通项公式，令，解得，则，故展开式中的常数项是（3）二项式的展开式中的系数为ABCD【答案】B【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，故二项式的展开式中的系数为（4）在二项式的展开式中，有理项的个数为 【答案】3【解析】二项式的展开式中，通项公式为，令为整数，可得，4，8，故展开式的有理想共有3项（二）求展开式的特定项或系数例2（1）的展开式中的系数为A45BC120D【答案】A【解析】的展开式的通项公式为，对于，它的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为（2）的展开式中，常数项为A1B3C4D13【答案】D【解析】由于的表示4个因式的乘积，故展开式中的常数
4、项可能有以下几种情况：所有的因式都取1；有2个因式取，一个因式取1，一个因式取；故展开式中的常数项为（三）两个二项式相乘的系数问题例3（1）的展开式中，项的系数为AB17C20D63【答案】B【解析】因为的展开式通项公式为：，令分别取0，1，2；展开式中含项为；含项的系数是17（2）的展开式的常数项是 【答案】3【解析】二项式，故它的展开式的常数项为二、二项式系数或系数的最值问题例1在二项式的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为 【答案】【解析】在二项式的展开式中，通项公式为，故第项的系数为，由，可得，故当时，该二项展开式中系数最大，即该项为例2（多选）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，
5、则展开式中二项式系数最大的项为A第3项B第4项C第5项D第6项【答案】CD【解析】的展开式中第3项与第8项的系数相等，；所以，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项例3已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的（1）求的值；（2）求的展开式中系数最大的项【解析】解：（1）根据题意，设该项为第项，则有，即亦即，解得，（2）设第项系数最大，则有，即亦即，解得，二项式展开式中系数最大的项为三、二项式系数和或系数和问题例1若，则下列结论正确的是ABCD【答案】C【解析】，令，可得，故错误；令，可得，故，故错误；根据，可得，再令，可得，故正确；对已知等式两边求导，可得，
6、令，可得，由二项展开式的通项公式可得，所以，故错误例2（多选）已知，则下列结论正确的是ABCD【答案】ACD【解析】，令，得，令，得，所以，故正确；由，所以，故错误；令，得，所以，又，所以，故正确；设，则，令，得，故正确例3设，则的值为 【答案】128【解析】，取，得，取，得，两式作和得，两式作差得，四、二项式定理的应用例1已知，且，可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，进一步能得到：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算： 【答案】【解析】由，得，例2若，则被4除得的余数为 【答案】1【解析】，令，可得，令，可得，两式相加除以2，可得分子中，除了最后2项外，其余各项都能被8整
7、除，故除以4的余数，即除以4的余数，为1例32013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为A2655万元 B2970万元 C3005万元 D3040万元【答案】C
8、【解析】2014年到2019年共投资1000万元，2020年到2024年共投资，故2005万元，故总共投资100020053005万元选C例4已知函数，其中（1）若，求的值；（2）若，求，1，2，3，的最大值；（3）若，求证：【解析】解：（1）当，时，令得，令得，两式相加整理可得：；（2）由题知，解得不妨设中，1，2，最大，则，解得或6，故中的最大值为；（3）证明：若，因为，所以 【针对练习】1在二项式的展开式中，设二项式系数和为，各项系数和为，的奇次幂项的系数和为，则ABCD【答案】A【解答】在二项式的展开式中，二项式系数和，令，得各项系数和，令，得的奇次幂项的系数和，所以2已知是数列的前项
9、和，若，数列的首项，则ABC2021D【答案】A【解析】令，得又因为，所以由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以 3的展开式中，的系数为A240B241CD【答案】C【解析】，通项公式为，对于，它的通项公式为，所以，当时，求得的系数为；当、时，求得的系数为综上，的系数为4若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为A252B70CD【答案】B【解析】的展开式中第3项与第7项的系数相等，即，所以，则展开式中二项式系数最大的项为第五项5（多选）关于的展开式中下列结论正确的有A不含项B项的系数为6C常数项为D各项的系数和为0【答案】AD【解析】；故
10、展开式中不含项，故正确；项系数为11，故错误；常数项为，故错误，各项系数和为0，故正确6（多选）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有AB展开式中常数项为160C展开式系数的绝对值的和1458D若为偶数，则展开式中和的系数相等【答案】ACD【解析】令，可得的展开式中各项系数的和为，故正确；，故展开式中常数项为，故不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项的各系数和，为，故正确；根据，可得若为偶数，则展开式中和的系数相等，故正确7（多选）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第
11、6项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含项的系数为45【答案】BCD【解析】因为的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等；展开式的各项系数之和为1024，；原二项式为：；其展开式的通项公式为：；展开式中奇数项的二项式系数和为：；故错；因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，对；令，即展开式中存在常数项，对；令，对8（多选）下列组合数公式中恒成立的有A BC D【答案】ABD【解析】（1）由组合数的性质可得：，正确；，故正确；由组合数的性质可得：，故错误；由于，两边展开可得，比较两边的系数可得，故正确 9（多选）已知，设，其中，则A BC若，则（8
12、） D【答案】AC【解析】，故选项正确；，而，故选项错误；假设，则有，即，所以，故（8），故选项正确；当时，故选项错误10（多选）的展开式中不含的项的系数的绝对值的和为32，则，的值可能为A，B，C，D，【答案】CD【解析】不含的项的系数的绝对值为，或11二项式的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数的值为 【答案】10【解析】的展开式中只有第6项的系数最大，即，且，可得12已知，若，则的值为 【答案】43【解析】已知，而，令，可得等式两边对求导数可得， ，再令，可得，则13在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是 ；若第行从左到右第1
13、2个数与第13个数的比值为，则 【答案】36，27【解析】由杨辉三角形得第行为：，第9行从左到右的第3个数是，第行从左到右第12个数与第13个数的比值为，解得14中的系数为 【答案】1330【解析】中的系数为15化简： （用、表示）【答案】【解析】设，则中含 项的系数为，可得，故中含项的系数即中含项的系数，而中含项的系数为，；16的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中的系数为 【答案】48【解析】由题意令，则，解得即；的通项公式为：，分别令，解得，0则展开式中的系数是： 17（1）证明：，；（2）计算：；（3）计算：【解析】解：（1）证明：，；（2）解：，原式；（3）解：设，则，又，所以所以18设，（1）求值：；（2）化简：【解析】解：
