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1、专题1.1 解三角形-常规型（1）解三角形一般需要三个条件，如果条件不齐，则只能求角或者求范围（2）解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值（3）在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围（4）针对查利用正余弦定理解三角形，及利
2、用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题1的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，且的面积为，求的值【试题来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，即，又，所以，所以（2）因为，所以，由余弦定理，得，即，因为，所以2已知的内角，所对的边分别是，且（1）求角A的大小；（2）若，且的面积，
3、求a【试题来源】浙江省之江教育评价2021届高三下学期2月返校联考【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理得；所以，得，因，故；（2），得，所以.3在中，角的对边分别为（1）求的取值范围；（2）若，求的值【试题来源】江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角形的内角和性质可得，由，可得，从而可得的取值范围（2）利用正弦定理的边角互化可得，由（1）可得，代入上式即可求解【解析】（1）由及，得，所以，所以由，得得，故的取值范围为（2）若，由正弦定理有，由（1）知，则由得，所以，解得或，又，所以4在中，分别为角，的对边，且（1）求角
4、；（2）若的面积为，边上的高，求，【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高三下学期2月一轮复习摸底考试【答案】（1）；（2），【分析】（1）化角为边，化简得，再利用余弦定理求角；（2）由正弦定理算出，由面积公式算出，由余弦定理计算中即可【解析】（1）因为，所以，所以，即由余弦定理可得，因为，所以（2）由正弦定理可得因为的面积为，所以，解得由余弦定理可得，则5如图，在中，点D在线段上（1）若，求的长；（2）若，且，求的值【试题来源】江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理求解即可（2）用余弦定理求出，在两个三角形中用正弦定理得
5、出，代入值求解即可【解析】（1）因为，且，所以，所以；（2）因为，故算得，在中，利用正弦定理有，在中，有，所以，因为，所以，所以.6的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求角B；（2）若，且的面积等于，求的值【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高三下学期第七次月考【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解（2）根据三角形的面积公式可得，再利用余弦定理可得，代入即可求解【解析】（1）因为，所以因为，所以，所以，所以，所以，所以（2）因为，所以，所以因为，所以所以7在中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若边上的中线，求面积的最大值【
6、试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学能力测试试题【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意有所以，所以，又 ，解得，所以（2），即所以，当且仅当时成立故面积的最大值为.8在中，角、所对的边分别为、，已知（1）求的大小；（2）的面积等于，为边的中点，当中线长最短时，求边长【试题来源】安徽省安庆市2021届高三下学期一模【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式求得，利用基本不等式结合余弦定理求得的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，再利用余弦定理可求得的长【解析】（1）由得即，从而而，所以；（2），在中
7、，由余弦定理可得，当且仅当时，即当，时，等号成立此时，故9在锐角三角形中，角，所对的边分别为，向量与平行（1）求角的大小； （2）求的取值范围【试题来源】浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2021届高三下学期第二次联考【答案】（1）；（2）【分析】（1）由向量和正弦定理，求得，进而得到，即可求解；（2）根据为锐角三角形，求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得的取值范围【解析】（1）由向量与平行，可得，又由正弦定理得， 即，即因为，可得，所以，因为，所以 （2）因为为锐角三角形，可得，解得，则，因为，所以，可得，即，所以的取值范围为10的内角，的对边分别为，已知（1）若，求面积的最
8、大值；（2）若为边上一点，且，求【试题来源】福建省漳州市2021届高三毕业班下学期第一次教学质量检测【答案】（1）最大值为；（2）【分析】（1）根据正弦定理求出角，再根据余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可确定三角形的面积的最大值；（2）首先求出，再求出，再在中利用正弦定理即可求出的长【解析】（1）根据及正弦定理，可得，即，可得，根据余弦定理可得，当且仅当时等号成立，的面积为，的面积的最大值为（2）由可得，在中，利用正弦定理可得，即，解得11已知中，角、的对边分别是、，已知（1）求角的大小；（2）若的面积为，若的周长为6，求三角形的边长【试题来源】黑龙江省实验中学2020-2021学年高三下
9、学期2月月考试题（线上） 【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理和已知得，再利用，可得答案；（2）由面积公式、的周长、由余弦定理可得答案【解析】（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，整理可得，因为，所以，所以，又，所以（2）由（1）知，若的面积为，所以，若的周长为6，所以，由余弦定理，得，解得12已知中，且（1）求的值；（2）若P是内一点，且，求【试题来源】广西桂林、崇左市2021届高三联合调研考试（二模）【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知求得，再由余弦定理求得，即可求得；（2）由题可得，设，由正弦定理可得，化简即可求出【解析】（1）由，知，由，知，在中，由余弦定理得，；（2）
10、，设，则在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，化简可得，故【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是先得出，设，由正弦定理可得13在中，分别为角，的对边，（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围【试题来源】湖北省荆门龙泉中学、宜昌一中2021届高三下学期2月联考【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角的大小；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简，再由锐角三角形得出的范围，进而得出答案【解析】（1）由已知，结合正弦定理，得再由余弦定理，得，又，则（2）由，则由正弦定理，有因为为锐角三角形，则，则所以的取值范围为14在中，它的内角，的对
11、边分别为，且，（1）若，求的面积；（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由【试题来源】湖北省武汉市2021届高三下学期3月质量检测【答案】（1）；（2）不能成立，理由见解析【分析】（1）由于，得，结合正弦定理与面积公式可得结果；（2）假设能成立，得，由余弦定理，可得，结合基本不等式判断即可【解析】（1）由，得，即因为，所以因为，所以，所以（2）假设能成立，所以由余弦定理，所以所以，所以，所以或-2（舍），此时不满足，所以不成立15在中，（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长【试题来源】河北省张家口市2021届高三一模【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知三角函数
12、的等量关系，结合两角和正弦公式得，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B；（2）由三角形面积公式求出、，再根据余弦定理求，即可求的周长【解析】（1）由，得，所以，即，所以由正弦定理，得，又，所以，即，所以（2）由的面积为，得，解得，即由余弦定理，可得，解得所以的周长为【名师点睛】（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长16的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，满足（1）求C；（2）若，求【试题来源】山东省泰安市2020-2021学年高三上学期1月月考【答案】（1）；（2）【分析】（
13、1）由得出等式，再用正余弦定理即可；（2）由正弦定理转化为角的关系，然后运用三角恒等变换公式即可【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得，所以，所以，因为，故（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，即，可得由于，所以，故17的内角，所对的边分别为，已知（1）求；（2）若，且的面积为，求【试题来源】云南西南名校2021届高三下学期联考【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得，即，而，所以，故（2）由（1）知，则，又的面积为，则，由余弦定理得，解得【名师点睛】利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键18在中，角，所对的边分别为，已知，且（1）证明：；（2）若的周长为，求其面积【试题来源】江苏省连云港市2021届高三下学期期初调研考试【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）解法一：用正弦定理化边为角，得到，再变成，运用基本不等式可证明；解法二：用余弦定理化角为边，得到关系式，再用基本不等式求解即可（2）用余弦定理求出，再用三角形面积公式求解即可【解析】（1）解法一：由已知及正弦定理，得因为所以，由正弦定理得，即 解法二：由已知及余弦定理，得，得，所以（2）因为的周长为，所以，因为因为，所以得所以19已知是的内角的对边，且（1）求角的大
