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1、第九章 直线、平面、简单几何体,第7课时 二面角(二),要点疑点考点,1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：,(1)先作平面角，再求其大小； (2)直接用公式,2.掌握下列两类题型的解法：,(1)折叠问题将平面图形翻折成空间图形.,(2)“无棱”二面角在已知图形中未给出二面角的棱.,基础题例题,二面角-AB-的平面角是锐角，C是平面内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面上的射影，E是棱 AB上满足CEB为锐角的任意一点，则( ) (A)CEBDEB (B)CEB=DEB (C)CEBDEB (D)CEB与DEB的大小关系不能确定,A,2. 直线AB与直二面角-l-的两个半平面分别交于A、B两点，
2、且A、B l. 如果直线AB与、所成的角分别是1、2，则1+2的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D),D,基础题例题,在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCDA1B1 C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是_ _.,4. 把边长为a的正三角形ABC沿着过重心G且与BC平行的直线折成二面角，此时A点变为 ，当 时，则此二面角的大小为_.,arccos(1/3),基础题例题,5.已知正方形ABCD中，AC、BD相交于O点，若将正方 形ABCD沿对角线BD折成60的二面角后，给出下面4个 结论： ACBD；ADCO；AOC为正三角形； 过B点作直线l平面BCD，则直
3、线l平面AOC, 其中正确命题的序号是_,基础题例题,6. 在四面体PABC中，PC平面ABC， AB=BC=CA=PC，求二面角BAPC的大小,E,F,解：如图过B作BEAC于E，过E作EFPA于F，连结BF。 PC平面ABC，BE平面PAC，BFPA。 BFE就是二面角BPAC的平面角。,设PC=1 则AB=BC=CA=PC=1， E为AC的中点，,所求二面角大小为:,能力思维方法,能力思维方法,7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,能力思维方法,7.平面四
4、边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,证明: (1)D-AC-B是直二面角,又DCAC,DC平面ABC,(面面垂直性质定理),又AB 平面ABC,DCAB,又ABBC,AB平面BCD,A,B,C,D,能力思维方法,7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,证明: (2)过C作CHDB于H,平面ABD平面DCB,CH平面ABD,AB平面BCD,又
5、平面ABD 平面DCB=DB,B,H,过H作HEAD于E,E,连接CE,由三垂线定理知 CEAD,HEAD,CEAD,CEH是所求二面角 的平面角,CEH=60o,即所求二面角为 60o,【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形(四个面都是直角三角形的四面体).,能力思维方法,8.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大
6、小；,能力思维方法,E,F,P,.,.,证明:（1）取PC的中点G,.,G,连接FG、EG,则FG/CD,且FG= CD,AE/CD,且AE= CD,AE/FG,AE=FG,从而四边形AEGF是平行四边形,AF/EG,EG 平面PEC,AF/平面PEC,8.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；,能力思维方法,P,证明:（2）,CD平面PAD,平面PAD平面ABC
7、D,PAB为二面角P-BC-A的平面角,在RtPAB中,PA=3,PB= ,PA=AD,且PDA=45o,PAAD,PA平面ABCD,ABBC,由三垂线定理得 PBBC,sinPBA=,得所求的二面角为60o,【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.,能力思维方法,9.正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.,能力思维方法,A,D,B,C,B1,A1,D1,C1,.,E,解题分析:所求二面角”无棱”,要么先找 “棱”,要么用面积投影.,解法一:取B1C1的中点M,.,M,连接EM,E为BC
8、的中点,EM平面A1B1D1,B1D1 M是D1B1E的射影三角形,设平面B1D1E和平面A1B1C1D1所成的 二面角为,平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面B1D1E和平面ABCD所成的 二面角也为,设正方体棱长为 a,所求二面角的正弦值为,9.正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.,能力思维方法,A,D,B,C,B1,A1,D1,C1,.,F,解法二:取BC的中点F,.,M,连接BD、EF,所求二面角的正弦值为,.,E,E为BC的中点,EF/BD,BD/B1D1,EF/B1D1,EF、B1D1共面，,平面ABCD平面EB1D1F=EF，,作BGEF交FE的延长线于G,G,连接B1G,则B1GB是平面B1D1E,和平面ABCD所成二面角的平面角。,设正方体棱长为 a,则BE= ，,BG= ，,在RtB1BG中,B1G= ，,【解题回顾】解法一利用公式 . 思路简单明 了，但计算量较解法二大.解法二的关键是确定二面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直角三角形可求出.,能力思维方法,
