第三章立体的截切与相贯

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1、3.13.1 截切立体截切立体3.23.2 曲面体相贯曲面体相贯第第第第3 3 3 3章章章章 立体的截切与相贯立体的截切与相贯立体的截切与相贯立体的截切与相贯平面与平面立体平面与平面立体平面与平面立体平面与平面立体相交相交相交相交截平面截平面断面断面断面的边界线是：断面的边界线是：截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线 截交线。截交线。一、平面立体的截交线一、平面立体的截交线一、平面立体的截交线一、平面立体的截交线平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。二、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的性质二、平面立

2、体截交线的性质三、平面立体截交线的求法三、平面立体截交线的求法三、平面立体截交线的求法三、平面立体截交线的求法1. 1. 1. 1. 棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法作图方法作图方法:1 求棱线与截平面求棱线与截平面 的共有点的共有点2 连线连线 3 根据可见性处理轮廓线根据可见性处理轮廓线121222277565612345673434求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线 例题例题1 1 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影2 2 2 2棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法棱

3、锥上截交线的求法 例题例题2 2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 sabcc”a”b”sPvs”abc 例题例题2 2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 sabcc”a”b”sPvs”(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。123(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4

4、) 补全棱线的投影。3”具体步骤如下：abc123(4)1”3”4”1243 例题例题3 3 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影yy 例题例题44 求立体切割后的投影求立体切割后的投影235411166543264（5）2 （3）截交线截交线截平面截平面截交线截交线截截平面平面平面与平面与平面与平面与曲面立曲面立曲面立曲面立体体体体相交相交相交相交一、截交线的性质：一、截交线的性质：一、截交线的性质：一、截交线的性质： 截交线的形状取决于截交线的形状取决于曲面立曲面立体体表表 面的形状及面的形状及截平面与截平面与曲面立曲面立体体轴轴 线的相对位置。线的相对

5、位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形。封闭的平面图形。 截交线是截平面与截交线是截平面与曲面立曲面立体表面体表面 的的共有线。共有线。二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚

6、性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，补充中间点。先找特殊点，补充中间点。三、具体的作图步骤三、具体的作图步骤三、具体的作图步骤三、具体的作图步骤四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点极限点极限点转向点转向点特征点特征点结合点结合

7、点矩形矩形椭圆椭圆圆圆3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面垂直于圆截平面垂直于圆柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为垂直于轴线的垂直于轴线的圆圆 截平面平行于圆截平面平行于圆柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为平行于轴线的平行于轴线的两条直线两条直线 截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为椭圆椭圆3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交 例例1 1 求圆柱被截切后的侧面投影求圆柱被截切后的侧面投影分析：分析：截平面与圆柱轴线斜截平面与圆柱轴线

8、斜 交，截交线为椭圆。交，截交线为椭圆。作图方法作图方法: : 1.求特殊点求特殊点11” 122”23”4”342.适当求一般点适当求一般点343.连线连线4.处理轮廓线处理轮廓线作图方法作图方法: : 表面取点法表面取点法注意注意: :当截平面与圆柱轴线交线交角为当截平面与圆柱轴线交线交角为45时，时， 截交线投影为圆。截交线投影为圆。 例例22 求圆柱截交线求圆柱截交线1115488832544(5)2(3)23解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线的的侧侧面面投投影影为为圆圆，水水平平投投影为椭圆；影为椭圆；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊

9、点点、 、 ；3 3求求出出若若干干个个一一般般点点、 、；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。766(7)67 例例33 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析侧侧面面投投影影为为圆圆的的一一部部分分，截截交线的水平投影为椭圆的一部分；交线的水平投影为椭圆的一部分；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 ；3 3求出若干个一般点求出若干个一般点、 ；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线

10、。整理轮廓线。345334(5)541(2)2112 例例4 4 求切口圆柱的水平投影和侧面投影求切口圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤解题步骤1 1 分分析析 截截交交线线的的水水平平投投影影为为椭圆，侧面投影为圆；椭圆，侧面投影为圆；2 2 求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 、 ；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点、 、；4 4 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出截交线，并且出截交线，并且判别可见性判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 例例55 求截切圆柱的水平投影和侧面投影求截切圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤解题步骤1 分分析析 截截交交线线的的水水

11、平平投投影影为为圆圆的的一一部部分分，侧侧面面投投影影为矩形；为矩形；2 求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、；3 顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交线并交线并判别可见性判别可见性；4 整理轮廓线。整理轮廓线。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 平面与圆锥相交平面与圆锥相交平面与圆锥相交平面与圆锥相交圆圆椭圆椭圆三角形三角形双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段 截平面垂直于圆截平面垂直于圆锥轴线，截交线为锥轴线，截交线为垂垂直于轴线的圆。直于轴线的圆。 截平面平行于圆锥截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线且过锥顶，截圆

12、锥轴线且过锥顶，截交线为交线为两相交直线。两相交直线。平面截圆锥（一）平面截圆锥（一）截平面平行于圆锥轴截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且圆锥轴线，且bf，截交线为截交线为椭圆。椭圆。截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆锥轴线，且锥轴线，且b=f，截交线为截交线为抛物线。抛物线。平面截圆锥（二）平面截圆锥（二）求圆锥截交线上点的方法求圆锥截交线上点的方法素线法素线法纬圆法纬圆法分析：分析：截平面过锥顶截平面过锥顶, ,截交线为截交线为 三角形。三角形。 例题例题11求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影作图：作图： 例题例题22 求圆锥截交

13、线求圆锥截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线为为椭椭圆圆；截截交交线线的的水水平平投投影和侧面投影均为椭圆；影和侧面投影均为椭圆；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 、 ；3 3求出一般点求出一般点；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。333圆圆3.2.3 3.2.3 3.2.3 3.2.3 平面与圆球相交平面与圆球相交平面与圆球相交平面与圆球相交截平面截圆球，截截平面截圆球，截交线为交线为圆。圆。平面截圆球平面截圆球纬纬圆圆法法 在圆球表

14、面上取若干个纬圆，并求出这些在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些 纬纬圆圆与与截截平面平面的的交点。交点。求圆球截交线上点的方法求圆球截交线上点的方法 例例1 1 求圆球截交线求圆球截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线为为圆圆；截截交交线线的的水水平平投投影影和和侧侧面投影均为椭圆；面投影均为椭圆；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 、 ；3 3求求出出若若干干个个一一般般点点A、B、C、D；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截交线，并且判别可见性；截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。121234

15、3456567878abcdbacd2134567 8abcd 水平面截圆球的截交线的水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。在侧视图上积聚为直线。 两个侧平面截圆球的截交两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。圆弧，在俯视图上积聚为直线。 例例2 2 求圆球截交线求圆球截交线 例例2 2 求圆球截交线求圆球截交线10.10.10.10.5 5 5 5 曲面立体与曲面立体曲面立体与曲面立体曲面立体与曲面立体曲面立体与曲面立体相贯相贯相贯相贯 两曲面立体的相贯线，在一般情况下

16、是封两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有点。体表面的共有点。 相贯线是两曲面立体表面的相贯线是两曲面立体表面的共有线共有线，相贯线上的点是两曲，相贯线上的点是两曲面立体表面的面立体表面的共有点共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线空间曲线，特殊，特殊情况为情况为平面曲线平面曲线或或直线直线。1.1.两回转体相交两回转体相交, ,交线为相贯线交线为相贯

17、线相贯线相贯线2.2.相贯线为二相贯线为二立体表面的公共线立体表面的公共线3.3.相贯线一般为封闭的空间曲线相贯线一般为封闭的空间曲线圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线为二立体表面公共线相贯线为二立体表面公共线相贯线相贯线相贯线相贯线圆柱与圆柱圆柱与圆柱封闭的空间曲线封闭的空间曲线10.5.110.5.1 两回转体两回转体相交相交一、曲面立体相贯线的性质图例一、曲面立体相贯线的性质图例二、曲面立体相贯的三种基本形式二、曲面立体相贯的三种基本形式2 2 外表面与内表面相交；外表面与内表面相交；1 1 两外表面相交；两外表面相交；3 3 两内表面相交。两内表面相交。三、求曲面立体相贯线的方法三、求曲面立体

18、相贯线的方法1表面取点法表面取点法2辅助平面法辅助平面法3辅助球面法辅助球面法求曲面立体相贯线的方法有：求曲面立体相贯线的方法有：四、求相贯线的一般步骤四、求相贯线的一般步骤2 2求作相贯线上的求作相贯线上的特殊点特殊点。3 3根据需要求出若干个一般点。根据需要求出若干个一般点。4 4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。5 5整理轮廓线。整理轮廓线。特殊点特殊点分析分析: :1.相贯线相贯线水平投影不用求水平投影不用求2.相贯线相贯线侧面投影不用求侧面投影不用求作图作图: :最最前点前点 1最后点最后点 2最低点最低点最最左点左点 3

19、最最右点右点 4最高点最高点2.适当求一般点适当求一般点3.连线连线12341234121.求特殊点求特殊点43 例例1 1 求二圆柱的相贯线求二圆柱的相贯线1. 1. 利用积聚性的利用积聚性的表面取点法表面取点法 圆柱表面交线的三种情况圆柱表面交线的三种情况 两外表面相交两外表面相交外表面与内表面相交外表面与内表面相交两内表面相交两内表面相交 两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势变化趋势2、利用辅助平面法求相贯线辅助面的选用原则辅助面的选用原则 例例22 求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱与圆锥的相贯线yyPW1PV14yy4 PV2PW23PV3PW351112 22453 35 解题步骤

20、解题步骤1 1 分分析析 相相贯贯线线的的侧侧面面投投影影已已知知，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共有点；共有点；2 2 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点 、 、；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点 、；4 4 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且且判判别别可可见见性；性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。用辅助平面求共有点示意图用辅助平面求共有点示意图用水平面作为辅助平面求共有点用水平面作为辅助平面求共有点特殊位置和形状的相贯线特殊位置和形状的相贯线-等径等径正交两圆柱的相贯线正交两圆柱的相贯线三个圆柱的复合相贯三个圆柱的复合相贯相贯线的简化画法 国家标准规定，在不引起误解的情况下，相贯线允许采用简化画法，如可用直线或圆弧代替非圆曲线。本 章 结 束