《2016届数学一轮（理科）北师大版课时作业第九章平面解析几何-7含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届数学一轮（理科）北师大版课时作业第九章平面解析几何-7含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 7 讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2015西安 调研)设双曲线 1( a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，x2a2 y2b2 3则双曲线的渐近线方程为 ()Ay x By x 12 22Cy x Dy2x2解析因为 2b2，所以 b1，因 为 2c2 ，所以 c ，所以 a 3 3 c2 b2，所以双曲线的渐近线方程为 y x x，故选 B.2ba 22答案B2(2014大纲 全国卷)双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐x2a2 y2b2近线的距离为 ，则 C 的焦距等于 ()3A2 B2 2C4 D4 2解析由已知，得 e 2，所以 a
2、 c，故 b c，从而双曲线的渐ca 12 c2 a2 32近线方程为 y x x，由焦点到 渐近线的距离 为 ，得 ，解得ba 3 3 3c2 3c2，故 2c4，故 选 C.答案C3设 F1，F 2 是双曲线 x2 1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且y2243|PF1|4|PF 2|，则PF 1F2 的面积等于 ()A4 B8 2 3C24 D48解析由Error! 可解得Error!又由|F 1F2|10 可得 PF1F2 是直角三角形，答案C4(2014山东 卷)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为 1，双曲线 C2 的方程为x2a2 y2b2 1，C 1 与 C2 的离心率之积为
3、 ，则 C2 的渐近线方程为 ()x2a2 y2b2 32Ax y0 B. xy02 2Cx2y0 D2xy 0解析椭圆 C1 的离心率为 ，双曲 线 C2 的离心率为 ，所以a2 b2a a2 b2a ，所以 a4b 4 a4，即 a44 b4，所以 a b，所以双曲a2 b2a a2 b2a 32 34 2线 C2 的 渐近线方程是 y x，即 x y0.12 2答案A5(2014重庆 卷)设 F1，F 2 分别为双曲线 1(a0 ，b0)的左、右焦点，双x2a2 y2b2曲线上存在一点 P 使得|PF 1|PF 2|3b，| PF1|PF2| ab，则该双曲线的离心94率为 ()A. B
4、. 43 53C. D394解析由双曲线的定义得|PF 1|PF 2|2a，又|PF 1|PF 2|3b，所以(|PF 1| PF2|)2(|PF 1| PF2|)29b 24a 2，即4|PF1|PF2|9b 24a 2，又 4|PF1|PF2|9ab，因此 9b24a 29ab，即 9 2 40，则(ba) 9ba (3ba 1)0，(3ba 4)解得 ，则双曲线的离心率 e .ba 43(ba 13舍 去 ) 1 (ba)2 53答案B二、填空题6(2014北京卷 )设双曲线 C 经过点(2,2) ，且与 x 21 具有相同渐近线，则 Cy24的方程为_；渐近线方程为_解析设 C 的方程
5、为 x 2 (0)，把点(2,2)代入上式得 3，所以 C 的y24方程为 1，其渐近线方程为 y2x.x23 y212答案 1y 2xx23 y2127已知双曲线 1 的一个焦点是(0,2) ，椭圆 1 的焦距等于 4，则x2m y23m y2n x2mn_.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在 y 轴上，所以双曲线的方程为 1，即 a23m， b2m，所以 c23mm4m 4，解得y2 3m x2 mm1.所以椭圆方程为 x 21，且 n0，椭圆的焦距 为 4，所以y2nc2n14 或 1n4，解得 n5 或3(舍去)答案58已知 F 为双曲线 C： 1 的左焦点，P，Q 为 C 上
6、的点若 PQ 的长等x29 y216于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_解析由 1，得 a3， b4，c5.x29 y216|PQ|4b162a.又A(5,0)在线 段 PQ 上，P，Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知Error! |PF|QF|28.PQF 的周长是|PF|QF| PQ|281644.答案44三、解答题9已知椭圆 D： 1 与圆 M：x 2( y5) 29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同x250 y225焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程解椭圆 D 的两个焦点为 F1(5,0
7、)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5.设双曲线 G 的方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2渐近线方程为 bxay0 且 a2b 225，又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r3. 3，得 a3，b4，|5a|b2 a2双曲线 G 的方程为 1.x29 y21610已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy 0，且顶点到y2a2 x2b2渐近线的距离为 .255(1)求此双曲线的方程；(2)设 P 为双曲线上一点， A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求AOB 的面积AP PB 解(1)依题意得 Error!解
8、得 Error!故双曲线的方程为 x 21.y24(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y2x，设 A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由 得点 P 的坐标为 .AP PB (m n2 ，m n)将点 P 的坐标代入 x 21，整理得 mn1.y24设AOB2 ，tan 2，(2 )则 tan ，从而 sin 2 .12 45又|OA| m，|OB | n，5 5S AOB |OA|OB|sin 22mn2.12能力提升题组(建议用时：25 分钟)11过双曲线 C： 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于x2a2 y2b2点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为
9、4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为 ()A. 1 B. 1x24 y212 x27 y29C. 1 D. 1x28 y28 x212 y24解析由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为 y x，因ba此可设点 A 的坐标为( a，b)设右焦点为 F(c,0)，由已知可知 c4，且 |AF|4，即(ca) 2b 216，所以有(c a)2b 2c 2，又 c2a 2b 2，则 c2a，即 a 2，所以c2b2c 2a 2 422 212.故双曲 线的方程为 1，故选 A.x24 y212答案A12(2015石家庄模 拟)已知点 F 是双曲线
10、1(a0，b0)的左焦点，点 Ex2a2 y2b2是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ()A(1， ) B(1,2)C(1,1 ) D(2,1 )2 2解析由题意易知点 F 的坐标为(c, 0)，A(c， )，B(c ， )，E(a,0)，因为b2a b2aABE 是锐角三角形，所以 0，即 (c a， )(c a， )EA EB EA EB b2a b2a0，整理得 3e22ee 4，e(e33e31)1，e(1,2)，故 选 B.答案B13(2014惠州模 拟)已知 F1，F 2 分别是
11、双曲线 1(a0，b0)的左、右x2a2 y2b2焦点，过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是_解析如图所示，过点 F2(c,0)且与渐近线 y x 平行的直 线为 y (xc )，与ba ba另一条渐近线 y x，ba联立得Error! 解得Error! 即点 M .(c2， bc2a)|OM| .(c2)2 ( bc2a)2 c21 (ba)2点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外，| OM|c，即 c ，得 2.c21 (ba)2 1 (ba2)双曲线 率心率 e 2.ca 1 (ba)
12、2故双曲线离心率的取值范围是(2，)答案(2 ，)14.如图，O 为坐标原点，双曲线 C1： 1(a 10，b 10)和椭圆 C2： x2a21 y2b21 y2a21( a2b 20) 均过点 P ，且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶x2b2 (233，1)点的四边形是面积为 2 的正方形(1)求 C1，C 2 的方程；(2)是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 只有一个公共点，且| | |？证明你的结论OA OB AB 解(1)设 C2 的焦距为 2c2，由题意知，2c 22,2a 12，从而 a11，c 21.因为点 P 在双曲线 x2 1 上，
13、所以 2 1.故 b 3.(233，1) y2b21 (233) 1b21 21由椭圆的定义知2a2 2 .(233)2 1 12 (233)2 1 12 3于是 a2 ，b a c 2，故 C1，C 2 的方程分别为3 2 2 2x2 1， 1.y23 y23 x22(2)不存在符合题设条件的直线若直线 l 垂直于 x 轴，因为 l 与 C2 只有一个公共点，所以直线 l 的方程为x 或 x .2 2当 x 时，易知 A( ， )，B ( ， )，所以2 2 3 2 3| |2 ，| |2 .OA OB 2 AB 3此时，| | |.OA OB AB 当 x 时，同理可知，| | |.2 O
14、A OB AB 若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 ykx m.由Error!得(3 k2)x22kmxm 2 30.当 l 与 C1 相交于 A，B 两点时，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1，x 2 是上述方程的两个实根，从而 x1x 2 ，x 1x2 .2km3 k2 m2 3k2 3于是 y1y2k 2x1x2km (x1x 2)m 2 .3k2 3m2k2 3由Error!得(2k 23) x24kmx 2m 260.因为直线 l 与 C2 只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k 2m28(2 k23)(m 23)0.化简，得 2k2m 23，因此 x 1x2y 1y2 0，于是 2 22OA OB m2 3k2 3 3k2 3m2k2 3 k2 3k2 3 OA OB
