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1、第六章 离散时间系统结构 6.0 引言 6.1 线性常系数差分方程的方框图表示 6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示 6.3 IIR系统的基本结构 6.4 转置形式 6.5 FIR 系统的基本网络结构 例 例 续 * * 6.0 引言 第五章已经看到，具有有理系统函数的线性时不变系统可以由常系数差分方程来表示： 其系统函数为： 由于阶数、系数等的不同，这些系统可以很不相同，然而它们都可以拆分成一系列简单环节的组合。将一个比较复杂的系统，拆分成简单环节，有利于其具体实现。 本章就来讨论这些基本运算环节，及其如何联接构成复杂系统。 6.1 线性常系数差分方程的方框图表示 本节内容类似连续时间系
2、统理论中的方框图。 基本运算环节包括： 两序列相加 序列乘以常数 单位延迟 线性常系数差分方程中，包含的基本运算环节只有这三种，因此能用线性常系数差分方程表示的系统，都可以用这些基本运算环节来表示。 + x2n x1n x1n+ x2n a axn xn z-1 xn xn-1 例：一个差分方程的方框图表示 yn a1yn-1+a2yn-2+b0xn 容易看出，在等号右边，包含了两个加法运算环节，和三个乘以常数的运算环节，而 yn-1、yn-2则是输出 yn加上时间延迟得到的。 因此最直观的方框图可以表示为： z-1 z-2 xn yn b0 a1 a2 yn-1 yn-2 但是一般来说，样本
3、延迟为 M 的环节，实现是用级联 M 个单位延迟来完成。因此将方框图改为如下形式： 例：一个差分方程的方框图表示（续） z-1 z-2 xn yn b0 a1 a2 yn-1 yn-2 注意在这样的方框图中，箭头表示了信号的流向，同时也体现了各个运算环节的先后次序。例如 yn-2是在 yn-1的基础上再加上一个单位延迟完成的，在 a1yn-1和 a2yn-2都形成之后，再与 b0xn相加，得到 yn。 高阶差分方程的方框图直接 I型 不失一般性地，可以将高阶差分方程写成如下递推形式： 上式可以拆分为一对差分方程： 相应的系统函数为： 6.9 由这对差分方程可画出方框图： 这种方框图可以由差分方
4、程直接观察而得到。 vn yn xn z-1 b0 b1 xn-1 z-1 b2 xn-2 z-1 bM xn-M bM-1 z-1 z-1 z-1 yn-1 yn-2 yn-N aN-1 a1 a2 aN 高阶差分方程的方框图直接II 型 规划性 直接 I 型对差分方程的拆分，等同于对系统函数的如下分解： 则有，V z H1 z X z ；Y z H2 z V z 若将 H1 z 和 H2 z 顺序颠倒，即将系统函数拆分成： 则有，W z H2 z X z ；Y z H1 z W z 直接 II 型 直接 II 型对系统函数的分解，等同于对差分方程的拆分： 交换 H1 z 和 H2 z 顺序
5、，可得方框图： 注意，一般来说，N 和 M 是不一样大的，因此两边的结构深度不一样。中间的延迟环节对两边结构来说，是相同的，也即延迟环节可以被两边的结构共用，这样，将中间的延迟环节合并，就产生了一种可以使得延迟环节个数最少的连接方式，这就是直接 II 型。 wn yn xn z-1 z-1 z-1 aN-1 a1 a2 aN z-1 b0 b1 wn-1 z-1 b2 wn-2 z-1 bM bM-1 直接II 型方框图 为方便起见，先假定 N M，则可得直接 II 型方框图： wn yn xn z-1 z-1 z-1 aN-1 a1 a2 aN b0 b1 wn-1 b2 wn-2 bN b
6、N-1 直接 II 型是用到单位延迟个数最少的一种连接方式，所用最少单位延迟个数应当等于 max N, M 。 直接 I 型和直接 II 型 vn yn xn z-1 b0 b1 xn-1 z-1 b2 xn-2 z-1 bM xn-M bM-1 z-1 z-1 z-1 yn-1 yn-2 yn-N aN-1 a1 a2 aN H2 z H1 z 直接 I 型 直接 II 型 H1 z H2 z yn xn wn 由此示意图可知，直接 I 型可由系统函数或差分方程直接得到，而直接 II 型则是将直接 I 型的前后两个结构顺序反过来连接，并将中间的延迟单元共用。 例 系统函数： yn xn z-
7、1 3 z-1 7 z-1 z-1 z-1 5 -8 -11 观察系统函数，直接可得直接 I 型系统的方框图，注意系数的符号： 交换直接 I 型系统的前后两部分，合并延迟环节，注意全部延迟环节个数应等于max N, M 。 yn xn z-1 z-1 z-1 -11 -8 5 3 7 6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示 离散系统的信号流图与连续系统的信号流图，基本原理完全相同，由节点和支路组成。同时信号流图与方框图存在直接的对应关系，一般可以直接将方框图改成信号流图的形式。 例如： z-1 xn yn wn b0 b1 a yn xn b0 b1 a z-1 6.3 IIR 系统的基本结
8、构 对于一个可以用线性常系数差分方程来表示的离散时间系统而言，其信号流图的形式往往不是唯一的，这些不同的信号流图，代表着相同的输入输出关系，和不同的内部实现结构。经常需要根据具体情况，选择不同的结构。 如前文介绍的，IIR 系统的差分方程中，同时包含输入 xn和输出 yn的时间延迟项，其基本结构有： 直接型 级联型 并联型 注意，方框图和信号流图一般都是表示实现方式的（也就是表示实际系统的结构） ，因此一般各个子系统的系数都为实数。 直接型 直接型即直接可以从差分方程： 观察得到的连接方式，也即前面方框图中所提到的直接 I 型和直接 II 型，只要将其转换为信号流图形式。 z-1 z-1 z-
9、1 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bM-1 bM a1 a2 aN-1 aN yn-1 yn-2 yn-N+1 yn-N xn-1 xn-2 xn-M+1 xn-M yn xn vn 直接 I 型 直接 II 型 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bN-1 bN a1 a2 aN-1 aN yn xn wn 级联型 因式 用信号流图表示为： z-1 b z-1 a 因式 用信号流图表示为： 由于系统函数一般都能分解成上述两种因式的乘积，也即将 H z 写为： 其中一阶因子直接可用上述信号流图来表示，而每一对（通常还将分子与分母各一对二阶因子配成一个子系统，以减少延迟环节）二
10、阶因子，即： 可用信号流图表示为： z-1 b1 z-1 b2 a1 a2 b0 例 当然，也可以拆分成一个一阶系统对，和一个二阶系统对，用直接 II 型来实现，以减少延迟环节： z-1 2 z-1 7 1 5 z-1 1 0.5 z-1 z-1 1 5 z-1 0.5 z-1 z-1 2 7 z-1 1 最直观地是从直接 I 型来实现： 并联型 将 H z 作部分分式展开，有： 其中 N N1+2*N2；N0M-N（MN） ，如果 M N，则第一项不存在。 经常将实极点成对组合，则系统函数可分解为： 如果 M N，则第一项不存在，后项中的每一子项，都可以由下列结构实现： z-1 e1 z-1
11、 a1 a2 e0 再将这些子项并联相加，就得到整个系统的结构。 z-1 8 z-1 0.75 -0.125 -7 8 xn yn 经过上式的拆分，可以用并联型结构来实现： xn yn z-1 z-1 0.5 0.25 -25 18 8 或者将上式拆分两个一阶的部分分式： 则有信号流图： 注意到这种并联型联结方式，和前面一种并联型结构，所用到的延迟环节是一样多的。 并且如果用直接 II型结构，同样也是两个延迟环节。 这些不同的结构，在延迟环节上没有效率的差别，因而在实用中，就根据不同的具体情况，加以选择。 6.4 转置形式 将网络中所有支路的方向颠倒，但保持支路增益不变，并将输入与输出也颠倒过来，以使得源节点变成汇节点，汇节点变成源节点，则得到了系统的一种新的结构。这一过程，成为转置。 转置流图与原流图有相同的系统函数。 z-1 yn xn a z-1 yn xn a 按前向通道从左到右 转置 z-1 yn xn a 容易看出，转置前后，系统函数均为： 直接 I 型与转置 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bM-1 bM a1 a2 aN-1 aN yn xn 直接 I 型 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 a1 a2 aN-1 aN b1 b2 bM-1 bM yn xn 转置
