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1、解 直 角 三 角 形 的 应 用,江宁高级中学 刁一建,中考专题复习,一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念： 1 仰角、俯角； 2 方向角； 3 坡角、坡度； 4 水平距离、垂直距离等。 再依据题意画出示意图，根据条件求解。,二、解实际问题常用的两种思维方法： （1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合； （2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。,例1 要求tan30的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作RtABC，使C=90，斜边AB=2，直角边AC=1，
2、那么BC= ，tan30= . 在此图基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15的值。请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15的值。,解：延长CB至D，使BD=AB，连结AD，则D=15，tan15= 。,D,E,x,2,例2 如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建 _ 阶（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算； 取1.732）,解：在RtACB中，C=90， BC=ACtan30=9 =3 =5.196 此阶梯的阶数= 26（阶）。 故填上26。,9米,A,O,F,B,C,例3 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的
3、三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元,解：如图所示，作出此三角形的高h。 则S= ACBDsin（180150） = 3020 =150（平方米） 购买这种草皮至少需要150a元。故选（C）。,A,B,C,D,例4 在生活中需测量一些球（如足球、篮球）的直径.某校研究性学习小组，通过实验发现下面测量方法：如图将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径，若测得AB的长为41.5cm，ABC=37.请你计算
4、出球的直径. (精确到1cm,可用数据:sin37=0.6,cos37=0.8).,D,E,F,A,C,B,37,G,解：过A作AGCB,垂足为G,则AG=EF.在RtABG中, sinB= ,AG=ABsinB=41.5sin37=41.50.6=24.9 25(cm),即EF25cm.答：球的直径约为25cm.,例5 为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60，树的底部B点的俯角为30。问距离 B点8米远的保护物是否在危险区内？
5、,解：过点C作CEAB于E.在RtCBE中,tan30=BE=CE tan30=在RtCAE中,tan60=AE=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米） 8(米）距离 B点8米远的保护物不在危险区.,若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30方向，相距60里的D港驶去。为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数， ）？,例6 如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心20
6、里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100里。,解题点拨：（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为t小时，此时，轮船在C处，台风中心到达E处（如图），则有AC2+AE2=EC2，显然，AC=20t里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，则（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若可求出t，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。,解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在RtAEC中，由勾股定理
7、，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中会遇到台风。 解得，t1=1,t2=3 最初遇到台风的时间为1小时。,A,C,E,B,北,南,西,东,解题点拨： 先求出台风抵达D港的时间t，因AD=60，则60t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。,解： 设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点。 过D作DFAB，垂足为F，连结DM。 在RtADF中，AD=60，FAD=60 DF=30 ，FA=30 又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得4t2-
8、26t+39=0 解之，得 台风抵达D港的时间为 小时。 轮船从A处用 小时到达D港的速度为60 25.5。为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时。,D,A,M,B,30,北,东,F,例7 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160米，（1）假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？,解题点拨 （1） 作ABMN于B，求出AB，若AB100米，则受影响，若AB100米，则不受
9、影响.,M,解（1）作ABMN，B为垂足。 在RtABP中 ABP=90，APB=30， AP=160米， AB= AP=80米 点A到直线MN的距离小于100米。 这所中学会受到噪声的影响。,M,P,Q,N,A,C,D,B,（2）如图，如果以点A为圆心，100米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连结AC、AD，那么AC=AD=100（米）。 根据勾股定理和垂径定理，CB=DB = =60（米）， CD=120（米） 学校受噪声影响的时间t=120米18千米/时= 时=24秒。,解题点拨 （2） 既然受影响，怎样求受影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪声
10、影响时拖拉机行驶的路程，即以A为圆心，100米为半径画圆A，则A交MN于C、D两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径定理可求CD。,小结：,1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题。,2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决。,作业：如图，有一位同学用一个有30角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度，他将30角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米。 （1）试求旗杆AB的高度（精确到0.1米， ）； （2）请你设计出一种更简便的估测方法。,如图，客轮沿折线ABC，从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线ABC上的某点E处，已知AB=BC=200海里，ABC=90，客轮速度是货轮速度的2倍。 选择：两船相遇之处E点（ ） （A）在线段AB上 （B）在线段BC上 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号),祝同学们学习进步！ 再见！,随笔网 随笔网 ege352uip,
