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1、1初三数学开放与探索总复习本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 专题三 开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐题型以填空题、解答题为主考向一 条件开放问题条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的【例 1】 如图，已知 ACBD 于点 P，AP CP，请增加一个条件：使ABPCDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是_解析：要证明ABPCDP ，已经给出了两个条件：2APC
2、P，ACBD(即APBCPD90) ，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边答案： A C， BD ，ABCD， BPDP，ABCD(任选其中一个)方法归纳 解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件， 逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件考向二 结论开放问题结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性【例 2】 (2011 广东河源 )如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P是 AB 上的动点 (P 不与 A，B 重合)，分别以 AP，PB 为边向线段AB 的同一侧作正A
3、PC 和正PBD(1)当APC 与PBD 的面积之和取最小值时，AP _.(直接写结果)(2)连接 AD，BC，相交于点 Q，设AQC，那么 的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由(3)如图 2，若点 P 固定，将PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转( 旋转角小于 180)，此时 的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)3图 1图 2分析： (1)设等边APC 边长为 x，高为 32x，则面积为 34x2，则等边BDP 边长为 2ax，高为 32(2ax) ，则面积为 34(2ax)2，面积之和为 S34x234(2a x)232x23ax 3a2 ，这是一个二次函数的最值
4、问题当 xa 时，S 最小32a2.(2)判别 的大小是否会随点 P 的移动而变化，只需计算 AQC(3)根据(2) 证明 过程或直观可得结论解： (1)a(2) 的大小不会随点 P 的移动而变化理由： APC 是等边三角形，PAPC ，APC60.BDP 是等边三角形，PBPD，BPD60，APCBPD，APDCPB，APDCPB，PADPCBQAPQAC ACP120，QCPQAC ACP120，AQC 180 12060.(3)此时 的大小不会发生改变，始终等于 60.方法归纳 解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本4题的难点解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求考
5、向三 条件与结论开放问题条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系【例 3】 (1)如图 1，在正方形 ABCD 中， M 是 BC 边(不含端点B，C)上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是DCP 的平分线上一点若AMN90，求证：AM MN.下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边 AB 上截取 AEMC，连接 ME.正方形 ABCD 中，BBCD 90，ABBCNMC180AMNAMB1
6、80BAMB MAB MAE.(下面请你完成余下的证明过程)图 1图 2(2)若将(1) 中的”正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”(如图 2)，N 是ACP 的平分线上一点，则当AMN60时，结论 AMMN是否还成立？请说明理由5(3)若将(1) 中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCDX”，请你作出猜想：当AMN_时，结论 AMMN 仍然成立(直接写出答案，不需要证明)分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等(1)中给出了线段 EM，即想提示考生证明AEMMCN.由题目中的条件知，只需再找一角即可(2)中解法同(1) ，在 AB 上构造出线段 AEM
7、C，连接 ME.进一步证明AEMMCN.(3) 是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：AMN 与正多边形的内角度数相等解： (1) AEMC，BEBM，BEMEMB45，AEM 135.CN 平分DCP，PCN 45，AEMMCN135.在AEM 和MCN 中，AEMMCN ，AEMC，EAM CMN，AEMMCN，AMMN.(2)仍然成立在边 AB 上截取 AEMC，连接 ME.ABC 是等边三角形，ABBC，BACB60，ACP120.AEMC，BE BM，6BEMEMB60，AEM120.CN 平分ACP， PCN60，AEMMCN 120.CMN180AMNAMB180
8、BAMB BAM ，AEMMCN，AMMN.(3)(n2)180n.方法归纳 解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断一、选择题1如图，在网格中有一个直角三角形( 网格中的每个小正方形的边长均为 1 个单位长度 )，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有()A4 个 B6 个 C7 个 D9 个2根 据图 1
9、所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象(如图 2)，过点 M 作 PQx 轴交图象于点 P，Q，连接 OP，OQ. 则以下结论7x 0 时，y 2x，OPQ 的面积为定值，x 0 时，y 随 x 的增大而增大，MQ2PM，POQ 可以等于 90.图 1 图 2其中正确的结论是 ()A BC D二、填空题3在四边形 ABCD 中，AB DC，ADBC请再 添加一个条件 ，使四边形 ABCD 是矩形你添加的条件是_(写出一种即可)4若关于 x 的方程 x2mx3 0 有实数根，则 m 的值可以为_(任意给出一个符合条件的值即可)三、解答题5如图，将ABC 的顶点 A 放在O 上，现从 AC 与
10、O 相切于点 A(如图 1)的位置开始，将ABC 绕着点 A 顺时针旋转，设旋转角为 (0AB)，将纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点E，交 BC 边于点 F，分别连接 AF 和 CE. (1)求证：四边形 AFCE 是菱形；9(2)若 AE10 cm，ABF 的面积为 24 cm2，求ABF 的周长；(3)在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2ACAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由8已知：二次函数 yx2bx3 的图象经过点 P(2,5)(1)求 b 的值，并写出当 1x3 时 y 的取值范围(2)设点 P
11、1(m，y1)，P2(m1 ，y2)，P3(m 2 ，y3)在这个二次函数的图象上当 m4 时，y1，y2，y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1，y2，y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由参考答案专题提升演练1C以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选 C.2B根据图中所示程序，可得 y 与 x 的函数关系式为y2x(x0)，易知错误；PQx 轴， 点 P在 y2x 上，SPOM12OMPM
12、12|k|1，同理可得SQOM 2，SPOQSPOMSQOM1 23， 正确；10当 x0 时，y4x，y 随 x 的增大而减小，错误；设 OMa ，当 ya 时， P 点的横坐标为2a，Q 点的横坐标为 4a，则PM2a，MQ4a，则 MQ2PM ，正确；当点 M 在 y 轴的正半轴上由下向上运动时，POQ 由 180逐渐变小至 0，POQ可以等于 90，正确3A90或B90或C90或D90或 ACBD(答案不唯一，写出一种即可)由已知条件 ABDC，AD BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使 ABCD 是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等4答案不唯一，所填写的数值只要满足 m212 即可，如 4 等由于这个方程有实数根，因此 b24ac(m)212 m2120，即 m212.5解：(1)(2)90.依题意可知，ACB 旋转 90后 AC 为O 直径，且点C 与点 E 重合，因此AFE90.AC 8 ， BAC60，AF12AC4，EF43，SAEF1244383.6解：(1)HGAHAB(2)由(1) 可知AGCHAB ，CGABACBH，即 x99y，y81x.11
