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1、3.1.4一、选择题1对于向量 a，b，c 和实数 ，下列命题中真命题是( )A若 ab0，则 a0 或 b0B若 a0，则 0 或 a0C若 a2b 2，则 ab 或 a bD若 abac，则 bc答案B解析ab0ab，| a|2|b| 2( ab)( ab) 0(ab)( ab)；abaca(bc )；故 A、C、D 均错2以下四个命题中正确的是()A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B若a，b，c 为空间向量的一组基底，则 a，b，c 全不是零向量CABC 为直角三角形的充要条件是 0AB AC D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案B解析使用排除法因 为空 间中的任
2、何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故 A 不正确；ABC 为直角三角形并不一定是 0，可能是 0，也可能是 AB AC BC BA CA 0，故 C 不正确；空 间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故 D 不正确，故选 B.CB 3长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，若 3i ， 2j ， 5k，则 ()AB AD AA1 AC1 Aijk B. i j k13 12 15C3i2j 5k D3i2j5k答案C4给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底， d 与 c 共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基
3、底；A ，B，M ，N 是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底，那么BA BM BN A，B ，M ，N 共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若 mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案D解析根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作 为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底 显然正确， 中由 、 、 共面且过相同点 B，故BA BM BN A、B、M、N 共面下面证明正确假设 d 与 a、b 共面，则存在实数 ，使 dab，d 与 c 共线，c0，存在实数 k，使 dkc，d0，k 0，从而 c a b，k kc
4、与 a、b 共面与条件矛盾d 与 a，b 不共面同理可证也是正确的5已知向量a，b，c是空间的一个基底， pab，qab，一定可以与向量 p，q构成空间的另一个基底的是( )Aa BbCc D无法确定答案C解析a p q，a 与 p、q 共面，12 12b p q，b 与 p、q 共面，12 12不存在 、，使 cpq，c 与 p、q 不共面，故c，p，q 可作为空间的一个基底，故选 C.6给出下列两个命题：如果向量 a，b 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么 a，b 的关系是不共线；O，A，B ，C 为空间四点，且向量 ， ， 不构成空间的一个基底，那么点OA OB OC O，A ， B
5、，C 一定共面其中正确的命题是()A仅 B仅C D都不正确答案B解析对空间任意向量 c，都有 c 与 a、b 共面，则必有 a 与 b 共线，错； 、OA 、 不能构成空间的基底， 、 、 必共面，故存在 实数 ，使OB OC OA OB OC ，O、A、B 、C 四点共面，OA OB OC 正确7已知 i、j、k 是空间直角坐标系 Oxyz 的坐标向量，并且 ijk，则 B 点AB 的坐标为( )A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定答案D解析向量 的坐标与 B 点的坐标不同AB 8设 OABC 是四面体，G 1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且 OG3G
6、G 1，若 x y z ，则 (x，y ，z) 为()OG OA OB OC A. B.(14，14，14) (34，34，34)C. D.(13，13，13) (23，23，23)答案A解析连 AG1 交 BC 于 E，则 E 为 BC 中点， ( ) ( 2 )，AE 12AB AC 12OB OA OC ( 2 )，AG1 23AE 13OB OA OC 3 3( )，OG OG1，OG GG1 OG1 OG 34 ( )OG 34OG1 34OA AG1 ( )34OA 13OB 23OA 13OC ，故选 A.14OA 14OB 14OC 9如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间
7、的一个基底，则一定有()Aa 与 b 共线 Ba 与 b 同向Ca 与 b 反向 Da 与 b 共面答案A解析由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底， B，C 都是 A 的一种情况空 间中任两个向量都是共面的，故 D 错10对于空间的四个向量 a，b，c，d 最多能构成的基底个数是()A1 B2C3 D4答案D解析最多的情况是 a，b，c，d 中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共 4 个二、填空题11已知 e1、e 2、e 3 是不共面向量，若ae 1e 2e 3， be 1e 2e 3，c e 1e 2e 3，de 12e 23e 3，又 d abc，则、 分别为_
8、答案 152 12解析da bc (e 1e 2e 3) (e1e 2e 3)(e 1e 2e 3)( )e1( ) e2( ) e3，又因为 de 12e 23e 3，e1、e2、e3 不共面，Error! ，解得 Error!.12已知向量 p 在基底a，b ，c 下的坐标为(2,1，1)，则 p 在基底 ab，ab，c下的坐标为_，在基底2 a，b，c 下的坐标为_答案( ，1)(1,1,1)3212解析由条件 p2abc.设 p 在基底ab，ab，c 下的坐标为(x， y，z)，则px(a b)y(ab)zc(xy)a( xy) bzc ，a、b、c 不共面，Error! ，Error
9、!.即 p 在基底ab，ab，c 下的坐标为( ，1) ，3212同理可求 p 在基底2a，b，c 下的坐标为(1,1,1)13(2010商丘高二检测)在四面体 OABC 中， a， b， c，D 为 BC 的OA OB OC 中点，E 为 AD 的中点，则 _.OE 答案 a b c12 14 1414三棱锥 PABC 中，ABC 为直角，PB平面 ABC，ABBC PB1，M 为 PC的中点，N 为 AC 中点，以 ， ， 为基底，则 的坐标为_BA BC BP MN 答案( ，0， )12 12解析 ( ) ( ) ，MN BN BM 12BA BC 12BP BC 12BA 12BP
10、即 .MN (12，0， 12)三、解答题15如图所示，平行六面体 OABCO ABC，且 a， b， c.OA OC OO (1)用 a，b，c 表示向量 ， .OB AC (2)设 G、H 分别是侧面 BBCC 和 OABC 的中心，用 a，b，c 表示 .GH 解析(1) ab c.OB OB BB OA OC OO AC AC CC AB AO AA bca.OC OO OA (2) GH GO OH OG OH ( ) ( )12OB OC 12OB OO (abcb) (abcc ) (cb)12 12 1216如图，正方体 ABCDABC D中，点 E 是上底面 ABCD的中心，
11、求下列各式中的 x、y 、z 的值：(1) x y z .BD AD AB AA (2) x y z .AE AD AB AA 解析(1) BD BD DD BA BC DD AB AD AA 又 x y zBD AD AB AA x1，y1，z1.(2) AE AA A E AA 12AC ( )AA 12A B A D ，12AD 12AB AA 又 x y z .AE AD AB AA x ，y ，z1.12 1217已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，并且PA AD1.选取恰当的基底求向量 、 的坐标MN DC 解析如图所示，因 为 PA
12、AD AB 1，且 PA平面 ABCD，ADAB，所以可设e 1， e 2， e 3.DA AB AP 以e 1，e2，e3为基底则 MN MA AP PN ( )MA AP 12PC MA AP 12PA AD DC e2e 3 (e 3e 1e 2)12 12 e1 e3，12 12 e 2，DC AB ， (0,1,0)MN ( 12，0，12) DC 18如图所示，平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE BB1，DF DD1.13 23(1)证明：A、E、C 1、F 四点共面；(2)若 x y z ，求 xyz 的值EF AB AD AA1 解析(1)证明：因为 AC1 AB AD AA1 AB AD 13AA1 23AA1 (AB 13AA1 ) (AD 23AA1 )( )( ) ，AB BE AD DF AE AF 所以 A、E、C1、F
