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1、1函数的单调性文 章来源 课件 5Y k J.Com 课题：1.3.1 函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性教学重点：函数的单调性及其几何意义教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 2教学过程：一、引入课题通过最近比较热门话题的股票作为引题，用上证指数随时间的“跌” 、 “涨”以及人们往往都会在涨到最高点卖出在最低点买进，形象刻画本课的要讲授的概念：函数的单调性以及最大最小值。师：函数的性质的应用就在我们的生活中，我们的周边，如一天气温
2、随时间的变化等。那我们今天就先来学习函数的单调性。1 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1）f(x) = x1 从左至右图象上升还是下降 _?2 在区间 _ 上，随着 x 的增大，f(x)的值随着 _ 2）f(x) = -2x+131 从左至右图象上升还是下降 _?2 在区间 _ 上，随着 x 的增大，f(x)的值随着 _ 3）f(x) = x21 在区间 _ 上，f(x)的值随着 x 的增大而 _ 2 在区间 _ 上，f(x)的值随着 x 的增大而 _ 问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先画出图像并观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语
3、言描述，即 y 随 x 的增大而增大（或减小） ；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。问题 1： 列表描点，画函数 f（x ）x2 的图像。4x432101234f（x）x2169410154916意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题） ，通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。说明：教师可以按照 P37
4、来 EXCEL 画图。问题 2： 利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在 y 轴左6侧“下降” ，也就是，在区间 上，随着 x 的增大，相应的 f（x ）反而减小；图象在 y 轴右侧“上升” ，也就是，在区间 上，随着 x 的增大，相应的 f（x）也随着增大。意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。 问题 3： 当 x 从小到大变化时，y 的值如何变化？意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着 x 的增大 y 增大，也不能说随着
5、x 的增大y 减小。学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。问题 4: 比较下列各数的大小。22，32，42， （4.5 ）2 ， （5.1 ）2 ， （6.3）2 。就 x 在（ 0，+ ）从小到大取值时，具体讨论函数值的大小变化。这不难得到 223242（4.5 ）2 （5.1）2 （6.3 ）2 。显然有：当 0x1x2x3x4x5x6 时，有 0x x x 7x x x 时，即 0y1y2 y3y4y5y6。意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。问题 5: 对于函数一个函数 f（x） ，如果 12 时，有 f（1）f（2） ，能否说函数 f（x ）在区间
6、（1 ，2）上递增呢？问题 6: 函数 f（x ） ，对于（0 ，）上的无数个自变量的值x1，x2，x3，当 0x1x2x3时，有0y1 y2 y3，能否说函数 f（x）在（0，）上递增呢？请画图说明。意图：这两个问题的目的是，逐步由“静态” 、 “有限”向“动态” 、“无限”过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题 6 引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。问题 7: 在函数 yx2 的图像位于 y 轴右边的部分随便（任意）取两点，横坐标分别是 x1，x2，即当 0x1x2 时，是否总有y1 y2 呢？意图：抽象前的铺垫，以“随便”替代“任意”容易被接受。8问题 8: 在函数 y
7、x2 的图像位于 y 轴左边的部分任意取两点，横坐标分别是 x1，x2，即当 x1x20 时，是否总有 y1y2 呢？意图：把“随便”换成“任意”并不突然。任意 x1x20 时，有 y1y2 。而 0x1x2 不变。这样，基本完成难点的突破。问题 9: 在函数 yx2 的图像上任意取两点，横坐标分别是x1，x2，当 x1x2 时，是否总有 y1y2 呢？意图：函数递增、递减描述需要分段表述。问题 10: 你能否举出一个具体的函数的例子，使得它在区间（，）上，对任意 x1x2，总有 y1y2。意图：学生为寻找例子，会首先从形象直观的角度寻找思考，如f（x）x。加强几何直观与抽象表述之间的联系。问
8、题 11: 你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（0，）上，对任意 x1x2，总有 y1y2。意图：使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，9先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到具体，体验函数的这一特征。二、提出函数单调性定义1增函数一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是增函数（increasing function） 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义 （学生活动）意图：培养学生数学表达能力。问题
9、 12：函数 f（x）在区间（0，）上，总有 f（x）f（0） ，能否说 f（ x）在（0 ，）上单调增？请举例说明。意图：概念辨析。学生容易画出图形来加以说明。从反面进一步体验到，函数单调性中“任意 x1x2，都有 f（x1）f（x2） ”中10“任意”二字的意义，体验到为什么要在区间上任意取大小不同的两个值。说明：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) 2函数的单调性定义如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（
10、严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间：3已学函数的单调性：三、单调性的应用：例 1 （教材 P29 例 1）根据函数图象说明函数的单调性11解：（略）巩固练习：课本 P38 练习第 1、3 题例 2 物理学中的波利尔定律 p （k 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积 V 减小，压强 p 将增大试用函数的单调性证明之分析 怎样来证明 “体积 V 减小，压强 p 将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数 p （k 是正常数）是减函数怎样证明函数 p （k 是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，） （因为体积 V0 ）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即设 V1 V2，去证明 p1p2也就是只要证明 p1p20证明 设 V1V2 ， V1，V2（0，+） p1p2 因为 k 是正常数，V1 V2，所以 0， p1p212所以，体积 V 减小，压强 p 将增大说明：教师把重心放在思路的分析上，而让学生进行具体的证明巩固练习：1 课本 P32 练习第 4 题；总结：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1 任取 x1，x2D，且 x11 的解集文 章来源 课件 5Y k J.Com
