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1、电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则7.2 估计量的优良性准则估计量的优良性准则在众多的估计量中选哪一个更好？在众多的估计量中选哪一个更好？选取的标准是什么？选取的标准是什么？ 如如 XU(0,q q ) , q q 的矩法估计量为的矩法估计量为 ， 对于总体的参数，可用各种不同的方法去对于总体的参数，可用各种不同的方法去估计它，因此一个参数的估计量不唯一估计它，因此一个参数的估计量不唯一.三个常用准则：三个常用准则：无偏性、有效性、相合性无偏性、有效性、相合性.极大似然估计量为极大似然估计量为电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则1. 无偏性无偏
2、性q q定义定义7.2.1 若参数若参数的估计量的估计量对一切对一切 n 及及 ，有，有称称 为为的的无偏估计量无偏估计量. 若若则称则称 为为的的渐进无偏估计量渐进无偏估计量. 电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 若若的实函数的实函数 g() 的无偏估计量存在，称的无偏估计量存在，称g()是是可估计函数可估计函数.注注 反例反例样本均值是总体均值样本均值是总体均值E(X)的无偏估计量的无偏估计量.S2 是是2 的无偏估计的无偏估计电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则注意：注意：电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则2.
3、有效性有效性思考思考：已知总体已知总体X的样本的样本X1, X2, X3,下列估下列估计量是否为总体均值计量是否为总体均值m m 的无偏估计量？的无偏估计量？ 哪个更好？哪个更好？参数的无偏估计量不惟一参数的无偏估计量不惟一.无偏估计只能保证估计无系统误差：无偏估计只能保证估计无系统误差：电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 希望的取值在希望的取值在及其附近越密集越好，及其附近越密集越好，其方差应尽量小其方差应尽量小.都是未知参数都是未知参数的无偏估计量的无偏估计量, ,若若定义定义7.2.2电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则称称 为为的最小方
4、差无偏估计量的最小方差无偏估计量. . 设设 是是的无偏估计，如果对的无偏估计，如果对的任何一个的任何一个无偏估计量无偏估计量 都有都有证明无偏性判断有效性证明无偏性判断有效性(1) 和和S2 分别是分别是m m 和和 s s2 的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计证明无偏性判断有效性证明无偏性判断有效性(2)电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则3. 相合性相合性 无偏性：反映估计量相对待估参数有无系无偏性：反映估计量相对待估参数有无系统偏差统偏差. 有效性：在无偏类中反映估计量相对待估有效性：在无偏类中反映估计量相对待估参数的偏离程度参数的偏离程度. 问题问题：在：在
5、“偏差性偏差性”和和“离散性离散性”两者兼顾两者兼顾的原则下建立估计量为的原则下建立估计量为“最优最优”准则准则.例例7.2.5电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 7.2.3定义定义 设设 是未知是未知参数参数的估计量，若对任意的的估计量，若对任意的0，有，有则称则称 为为的的相合估计量相合估计量. .相合估计量的证明相合估计量的证明(1)相合估计量的证明相合估计量的证明(2)电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 是是的相合估计量的相合估计量; ;S2 和和M2 都是都是2的相合估计量的相合估计量.部分证明部分证明电子科技大学电子科技大学估计量
6、的优良性准则估计量的优良性准则 例例7.2.1 设总体的方差设总体的方差 D(X)=2 0，有，有#电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则证明证明 S2 是是2 的无偏估计量的无偏估计量 例例7.2.2 设总体的方差设总体的方差 D(X)=2 0，则样本，则样本方差方差S2 是是2的无偏估计的无偏估计.证证电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则#电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 例例7.2.3 设总体设总体XU0, 0 未知未知, (X1，X2，X3)是取自是取自X的一个样本的一个样本1)试证试证都是都是的无偏估计；的无偏
7、估计；2) 上述两个估计量中哪个的方差最小？上述两个估计量中哪个的方差最小？分析分析： 要判断估计量是否是无偏估计量，要判断估计量是否是无偏估计量，需要计算统计量的数学期望需要计算统计量的数学期望. .电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则证证 1) 先求先求X与与Y 的概率密度函数，的概率密度函数，已知分布函数已知分布函数电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则2)#电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则例例7.2.4 证明证明 是无偏估计量，是无偏估计量， 是其中最有效估计量是其中最有效估计量. . 证证利用拉格朗日乘数法求条
8、件极值，令利用拉格朗日乘数法求条件极值，令电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则从联立方程组从联立方程组解得解得 ，电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则即函数即函数的最小值点是的最小值点是#电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 例例7.2.5 设设XU(0,) ,的矩法估计量为的矩法估计量为 ，极大似然估计量为，极大似然估计量为 .有偏估计量有偏估计量电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则#电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则分析分析 1) 证明相合性常用到证明相合性常用到切比雪
9、夫不等式切比雪夫不等式; 2) 这里计算方差较难这里计算方差较难, 可以先化为可以先化为 2 分布分布, 再利用卡方分布的性质计算再利用卡方分布的性质计算. 例例7.2.6 设设 XN(0,2), 证明证明 是是2 的的相合估计量相合估计量.证证电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则由切比雪夫不等式，有由切比雪夫不等式，有电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则#是是2 的相合估计量的相合估计量.电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 例例7.2.7 设总体设总体X的的k阶原点矩阶原点矩E(Xk)存在存在, 证明样证明样k阶原点矩
10、阶原点矩 是其无偏、相合估计量是其无偏、相合估计量.证证 样本构成的随机变量序列样本构成的随机变量序列X1,X2,Xn, 相互独立同分布，相互独立同分布，服从辛钦大数定理，对任给的服从辛钦大数定理，对任给的0，有，有电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则#电子科技大学电子科技大学估计量的优良性准则估计量的优良性准则 例例7.2.8 设总体设总体X的数学期望存在的数学期望存在, 估计量估计量 ,是是=E(X)的无偏、相合估计量的无偏、相合估计量. 证证 样本构成的随机变量序列样本构成的随机变量序列X1，X2，Xn, 相互独立同分布，服从切比雪夫大数定相互独立同分布，服从切比雪夫大数定理，对任给的理，对任给的0，有，有即即 为为E(X) 的相合估计量的相合估计量.#
