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1、1几何概型本资料为 WORD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 来源课件 5 YK J.COM 几何概型使用说明：此教案旨在帮助教师理解几何概型的基础上设置的，从概念的分析，到例题的设置需要教师花心思针对学生情况重新组织，很多例题需要配套使用，效果更好。一正确区分古典概型与几何概型题组一：1在区间0，10 上任意取一个整数 ，则 不大于 3的概率为： 。2在区间0，10上任意取一个实数 ，则 不大于 3的概率为： 。分析：此题组中，问题 1因为总的基本事件是0 ，10 内的全部整数，所以基本事件总数为有限个 11，而不大于 3的基本事件有 4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为 。问题 2
2、中，因为总的基本事件是0，10内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题2属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间0，10长度为 10，而事件“不大于 3”对应区间0，3 长度为3，所以所求概率为 。此题组中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题 1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题 2中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型有联系也有区别，但在实际解决问题中，关键还在于正确区分古典概型与几何概型。二准确分清几何概型中的测度题组二：1等腰 RtABC中，C=900，在直角边 BC上任取一点 M，求CAM300 的概率。2等腰
3、RtABC中，C=900，在CAB 内作射线交线段 BC于点 M，求CAM300 的概率。 分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。问题 1的测度定性为线段长度，当CAM0=300时， ，合条件的点 M等可能的分布在线段 上，所以所求概率等于 。而问题 2的测度定性为角度，过点 A作射线与线段 CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在CAB 内，CAB=450，所以所求概率等于 。此题组中的两个问题都是几何概型的问题，但是选取的测度不一样，在解决时考察和计算的结果也不一致。可见在解决几何概型问3题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题。知识巩固：
4、下列概率问题中哪些属于几何概型？(1)从一批产品中抽取 30件进行检查, 有 5件次品，求正品的概率。(2)随机地向四方格里投掷硬币 50次，统计硬币正面朝上的概率。(3)箭靶的直径为 1m，其中，靶心的直径只有 12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ (4)甲、乙两人约定在 6时到 7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。对比古典概型和几何概型的特点，判断（1） 、 （3）属于古典概型；（2） 、 （4）属于几何概型。例题 1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于 10分钟的概率是多大？ 1）这是什么
5、概型，为什么？(几何概型）2）借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？（圆或线段）3）该如何建立数学模型？ 4解：设 A=“等待时间不超过 10分钟”,则 或 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于 10分钟的概率。分析：某人醒来在整点间即 60分钟是随机的，等待的时间不多于 10分钟可以看作构成事件的区域，整点即 60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。可设 “等待的时间不多于 10分钟”这一事件记作事件 A，则；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理
6、解。问题拓展：某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过 5分钟的概率为多少？分析：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用上题中的时间长度之比来解决，得到错误的答案 。学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量。本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在0，60内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在0，60内的任意时刻。所以本题的解决应以 轴和 轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过 5分钟的充要条件是 ，从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果。5由于 的所有可能结果是边长为 60的正方形，差异不超过 5分钟由图中阴影部分所表示，记“
7、 差异不超过 5分钟”为事件 因此 ,差异不超过 5分钟的概率 。例题 2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色。金色靶心叫“黄心” 。奥运会的比赛靶面直径为 122cm,靶心直径为 12.2cm。运动员在 70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 1、抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币” （设“金币”的半径为 1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为 2.1的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠） ，便可获大奖. 不少人
8、被高额奖金所吸引，纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品，请用今天所6学知识解释这是为什么。分析：若中奖，金币圆心必位于右图的绿色区域 A内. 圆心随机地落在“阶砖”的任何位置，所以这是一个几何概型。其概率为练习：面上画了一些彼此相距 2a的平行线，把一枚半径 ra的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。2a 分析：首先可以判定此试验为几何概型，我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬币中心 O的位置即可，一旦中心位置确定，只要当中心 O到其最近平行线的距离大于其半径时，就满足事件 A,由此不难想到由中心 O向靠的的最近的平行线引垂线，垂足为M,显然线段 OM长度是介于 0到
9、 a之间的一个实数，接下来我们做一条长度为 a的线段，因此这个实数在此线段上就对应着一个点，从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点，所以这条线段就可以理解为区域 ,其长度为 a。接下来我们再来看事件 A所理解的区域，首先看一种临界状态，就是当硬币与平行线相切时，此时中心 O到最近平行线的距离 r,显然只有当中心 O到最近平行线的距离大于 r时满足事件 A,所以事件 A理解的区域其长度应为 ar,所以72、抽奖游戏的再思考:在两种情况下分别求抽中电视机的概率是多少?(1)如果在转盘上，区域 1缩小为一个单点，那么要求概率是多少？(2)如果在转盘上，区域 1扩大为整个转盘扣除一个单
10、点，那么所求概率又是多少？总结：用几何概型解释概率为 0的事件不一定是不可能事件；概率为 1的事件不一定为必然事件。3、甲乙两人相约在 14：0015：00 在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相等的，先到的的等 20分钟后便可以离开，试求两个人会面的概率。分析：以 x轴和 y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能会面的充要条件为x-y 20，如图所示。故所求概率为阴影面积与正方形面积之比。练习：8一条直线型街道的 A、B 两盏路灯之间的距离为 120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯 C、D，顺序为A、C、D 、 B. 问 A与 C、B 与 D之间的距离都不小于 40米的概率是多少？解： 设 A与 C、B 与 D之间的距离分别为 x米、y 米.则所有可能结果为： ；记 A与 C、B 与 D之间的距离都不小于 40米为事件A，则事件 A的可能结果为 .如图所示，试验全部结果构成区域 为直线 与两坐标轴所围成的ABC. 而事件 A所构成区域是三条直线 ， ， 所夹中间的阴影部分.根据几何概型公式，得到： 所以，A 与 C、B 与 D之间的距离都不小于 40米的概率为 .来源课件 5 YK J.COM
