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1、二次函数压轴之面积重叠问题1(2014年四川资阳)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1(1)求抛物线的解析式;(2)已知点M为y轴上的一个动点,当ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;(3)将AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0m3)得到另一个三角形,将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S解:(1)由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(1,0),则,解得故抛物线的解析式为y=x2+2x+3(2)当MA=MB时,M(0,0);当AB=AM时,M(0,3);当AB=BM
2、时,M(0,3+3)或M(0,33)所以点M的坐标为:(0,0)、(0,3)、(0,3+3)、(0,33)(3)平移后的三角形记为PEF设直线AB的解析式为y=kx+b,则,解得则直线AB的解析式为y=x+3AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0m3)得到PEF,易得直线EF的解析式为y=x+3+m设直线AC的解析式为y=kx+b,则,解得则直线AC的解析式为y=2x+6连结BE,直线BE交AC于G,则G(,3)在AOB沿x轴向右平移的过程中当0m时,如图1所示设PE交AB于K,EF交AC于M则BE=EK=m,PK=PA=3m,联立,解得,即点M(3m,2m)故S=SPEFSPAKSAFM=PE
3、2PK2AFh=(3m)2m2m=m2+3m当m3时,如图2所示设PE交AB于K,交AC于H因为BE=m,所以PK=PA=3m,又因为直线AC的解析式为y=2x+6,所以当x=m时,得y=62m,所以点H(m,62m)故S=SPAHSPAK=PAPHPA2=(3m)(62m)(3m)2=m23m+综上所述,当0m时,S=m2+3m;当m3时,S=m23m+2. (2014湖北黄冈)已知:如图,在四边形OABC中,ABOC,BCx轴于点C,A(1,1),B(3,1),动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间t秒(0t2)
4、,OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标(2)用含t的代数式表示点P、点Q的坐标;(3)如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90,是否存在t,使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)求出S与t的函数关系式解:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx(a0),把点A(1,1),B(3,1)代入得,解得,抛物线解析式为y=x2x,y=x2x=(x2)2,顶点M的坐标为(2,);(2)点P从点O出发速度是每秒2个单位长度,OP=2t,点P的坐标为(2t,0),A(1,1),AOC=45,点Q
5、到x轴、y轴的距离都是OP=2t=t,点Q的坐标为(t,t);(3)OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90,旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为(2t,2t),(3t,t),若顶点O在抛物线上,则(2t)2(2t)=2t,解得t=,若顶点Q在抛物线上,则(3t)2(3t)=t,解得t=1,综上所述,存在t=或1,使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上;(4)点Q与点A重合时,OP=12=2,t=22=1,点P与点C重合时,OP=3,t=32=1.5,t=2时,OP=22=4,PC=43=1,此时PQ经过点B,所以,分三种情况讨论:0t1时,S=(2t)=t2,1t1.5时,S=(2t)(t)2=2t1
6、;1.5t2时,S=(2+3)11(2t3)2=2(t2)2+;所以,S与t的关系式为S=3. (2014攀枝花)如图,抛物线y=ax28ax+12a(a0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D的坐标为(6,0),且ACD=90(1)请直接写出A、B两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标及周长的最小值;若不存在,说明理由;(4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动,到点A停止设直线m与折线DCA的交点为G,与x轴的交点为H(t,0)记ACD在直线m左侧部分的面积为s,求s关于t的函数关
7、系式及自变量t的取值范围解:(1)抛物线的解析式为:y=ax28ax+12a(a0),令y=0,即ax28ax+12a=0,解得x1=2,x2=6,A(2,0),B(6,0)(2)抛物线的解析式为:y=ax28ax+12a(a0),令x=0,得y=12a,C(0,12a),OC=12a在RtCOD中,由勾股定理得:CD2=OC2+OD2=(12a)2+62=144a2+36;在RtCOD中,由勾股定理得:AC2=OC2+OA2=(12a)2+22=144a2+4;在RtCOD中,由勾股定理得:DC2+AC2=AD2;即:(144a2+36)+(144a2+4)=82,解得:a=或a=(舍去),
8、抛物线的解析式为:y=x2x+(3)存在对称轴为直线:x=4由(2)知C(0,),则点C关于对称轴x=4的对称点为C(8,),连接AC,与对称轴交于点P,则点P为所求此时PAC周长最小,最小值为AC+AC设直线AC的解析式为y=kx+b,则有:,解得,y=x当x=4时,y=,P(4,)过点C作CEx轴于点E,则CE=,AE=6,在RtACE中,由勾股定理得:AC=4;在RtAOC中,由勾股定理得:AC=4AC+AC=4+4存在满足条件的点P,点P坐标为(4,),PAC周长的最小值为4+4(4)当6t0时,如答图41所示直线m平行于y轴,即,解得:GH=(6+t)S=SDGH=DHGH=(6+t)(6+t)=t2+2t+6;当0t2时,如答图42所示直线m平行于y轴,即,解得:GH=t+2S=SCOD+S梯形OCGH=ODOC+(GH+OC)OH=62+(t+2+2)t=t2+2t+6S=