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1、二次函数压轴之面积重叠问题1(2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0m3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（1，0），则，解得故抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）当MA=MB时，M（0，0）；当AB=AM时，M（0，3）；当AB=BM
2、时，M（0，3+3）或M（0，33）所以点M的坐标为：（0，0）、（0，3）、（0，3+3）、（0，33）（3）平移后的三角形记为PEF设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得则直线AB的解析式为y=x+3AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0m3）得到PEF，易得直线EF的解析式为y=x+3+m设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得则直线AC的解析式为y=2x+6连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）在AOB沿x轴向右平移的过程中当0m时，如图1所示设PE交AB于K，EF交AC于M则BE=EK=m，PK=PA=3m，联立，解得，即点M（3m，2m）故S=SPEFSPAKSAFM=PE
3、2PK2AFh=（3m）2m2m=m2+3m当m3时，如图2所示设PE交AB于K，交AC于H因为BE=m，所以PK=PA=3m，又因为直线AC的解析式为y=2x+6，所以当x=m时，得y=62m，所以点H（m，62m）故S=SPAHSPAK=PAPHPA2=（3m）（62m）（3m）2=m23m+综上所述，当0m时，S=m2+3m；当m3时，S=m23m+2. （2014湖北黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0t2）
4、，OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），把点A（1，1），B（3，1）代入得，解得，抛物线解析式为y=x2x，y=x2x=（x2）2，顶点M的坐标为（2，）；（2）点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，OP=2t，点P的坐标为（2t，0），A（1，1），AOC=45，点Q
5、到x轴、y轴的距离都是OP=2t=t，点Q的坐标为（t，t）；（3）OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，2t），（3t，t），若顶点O在抛物线上，则（2t）2（2t）=2t，解得t=，若顶点Q在抛物线上，则（3t）2（3t）=t，解得t=1，综上所述，存在t=或1，使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上；（4）点Q与点A重合时，OP=12=2，t=22=1，点P与点C重合时，OP=3，t=32=1.5，t=2时，OP=22=4，PC=43=1，此时PQ经过点B，所以，分三种情况讨论：0t1时，S=（2t）=t2，1t1.5时，S=（2t）（t）2=2t1
6、；1.5t2时，S=（2+3）11（2t3）2=2（t2）2+；所以，S与t的关系式为S=3. （2014攀枝花）如图，抛物线y=ax28ax+12a（a0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（6，0），且ACD=90（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）记ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关
7、系式及自变量t的取值范围解：（1）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令y=0，即ax28ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，A（2，0），B（6，0）（2）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令x=0，得y=12a，C（0，12a），OC=12a在RtCOD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；在RtCOD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；在RtCOD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，解得：a=或a=（舍去），
8、抛物线的解析式为：y=x2x+（3）存在对称轴为直线：x=4由（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C（8，），连接AC，与对称轴交于点P，则点P为所求此时PAC周长最小，最小值为AC+AC设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，y=x当x=4时，y=，P（4，）过点C作CEx轴于点E，则CE=，AE=6，在RtACE中，由勾股定理得：AC=4；在RtAOC中，由勾股定理得：AC=4AC+AC=4+4存在满足条件的点P，点P坐标为（4，），PAC周长的最小值为4+4（4）当6t0时，如答图41所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=（6+t）S=SDGH=DHGH=（6+t）（6+t）=t2+2t+6；当0t2时，如答图42所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=t+2S=SCOD+S梯形OCGH=ODOC+（GH+OC）OH=62+（t+2+2）t=t2+2t+6S=
