《2020-2021学年高中人教A版数学选修课件-阶段提升课-第二课-导数的应用与定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高中人教A版数学选修课件-阶段提升课-第二课-导数的应用与定积分（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课导数的应用与定积分,思维导图构建网络,考点整合素养提升,题组训练一运用导数研究函数单调性 1.已知函数f(x)=x2+aln x. (1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间; (2)若g(x)=f(x)+ 在1,+)上是单调函数,求实数a的取值范围,解析】(1)f(x)=2x- , 令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0 x1, 所以f(x)的单调递增区间是(1,+),单调递减区间是(0,1). (2)由题意g(x)=x2+aln x+ ,g(x)=2x+ - , 若函数g(x)为1,+)上的单调增函数,则g(x)0在1,+)上恒成立, 即a -2x2在1,+)上恒成立,设(x)=
2、 -2x2. 因为(x)在1,+)上单调递减,所以(x)max=(1)=0,a0; 若g(x)为1,+)上的单调减函数,则g(x)0在1,+)上恒成立,不可能. 所以实数a的取值范围为0,2.已知函数f(x) =ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x) 的单调性. (2)当a0时,证明f(x)- -2,解析】(1) 当a0时,f(x)0,则f(x)在(0,+)上单调递增, 当a0时,则f(x)在 上单调递增, 在 上单调递减,2)由(1)知,当a0时,f(x)max=f , 则 令y=ln t+1-t , 则y= -1=0,解得t=1, 所以y=ln t+1-t在(0,1)上单调
3、递增,在(1,+)上单调递减, 所以ymax=y(1)=0,所以y0, 即f(x)max=- -2,所以f(x)- -2,方法技巧】 函数的单调性与导数的关注点 (1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法,题组训练二函数极值、最值、零点问题 1.设函数f(x)= +lnx,则() A.x= 为f(x)的极大值点 B.x= 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点,解析】选D.因为f(x)= +lnx
4、, 所以f(x)=- + ,令f(x)=0, 即- + = =0, 解得x=2.当x2时, f(x)0,所以x=2为f(x)的极小值点,2.设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值. (2)讨论g(x)与g 的大小关系,解析】(1)由题设知g(x)=lnx+ ,所以g(x)= . 令g(x)=0,得x=1.当x(0,1)时,g(x)0,故(1,+)是g(x)的单调递增区间,因此,x=1是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1,2)g =-lnx+x.设h(x)=g(x)-g =2lnx-x+ ,则h(x)=
5、- . 当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g . 当x(0,1)(1,+)时,h(x)h(1)=0,即g(x)g . 当x1时,h(x)h(1)=0,即g(x)g,3.已知函数f(x)=ex-1,g(x)= +x,其中e是自然对数的底数,e=2.718 28. (1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点; (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由. 【解析】(1)h(x)=f(x)-g(x) =ex-1- -x,h(1)=e-30,h(x)在(1,2)上是连续的, 所以h(x)在区间(1,2)上有零点,2)由(1)得h(x)=ex-1- -x. 由g(
6、x)= +x知,x0,+),又h(0)=0, 所以x=0为h(x)的一个零点, 又因为h(x)在(1,2)内有零点, 所以h(x)在0,+)上至少有两个零点. 因为h(x)=ex- -1,记(x)=ex- -1,则(x)=ex+ . 当x(0,+)时,(x)0,因此(x)在(0,+)上单调递增,则(x)在 (0,+)上至多只有一个零点,即h(x)在0,+)上至多有两个零点. 所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2,方法技巧】 利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值,则先求方程f(x)=0的根,再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号. (2)若探究极值点个数,则探求方程f(x)=0
7、在所给范围内实根的个数. (3)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)=0根的大小或存在情况来求解. (4)求函数f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较,从而得到函数的最值,题组训练三定积分及其应用 1.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积S为(,解析】选A.作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积. 解方程组 得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.所求图形的面积 为,2.汽车以每小时32 km的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度 a=-1.8 m
8、/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车所走的路程约为_(保 留至小数点后两位,解析】设t s时汽车的速度为v(t) m/s, 当t=0时,v0=32 km/h= m/s= m/s. 刹车后减速行驶,v(t)=v0+at= -1.8 t, 停止时,v(t)=0,则 -1.8 t=0, 得t= ,所以汽车所走的路程s= 答案:21.95 m,方法技巧】 利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 关键点一:正确画出几何图形,结合图形位置,准确确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值. 关键点二:根据图形的特征,选择合适的积分变量.在以y为积分变量时,应注意将曲线方程变为x=f(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应y的取值
