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1、第节二元一次不等式组与简单的线性规划问题 【选题明细表】知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域2、5、7、8线性目标函数的最值问题1、3非线性目标函数的最值问题4、10线性规划的应用6、9、11一、选择题1.(2012年高考天津卷)设变量x、y满足约束条件2x+y-20,x-2y+40,x-10,则目标函数z=3x-2y的最小值为(B)(A)-5(B)-4(C)-2(D)3解析:做出不等式对应的可行域如图所示,由z=3x-2y得y=32x-z2,由图象可知当直线y=32x-z2经过点C(0,2)时,直线y=32x-z2的截距最大,而此时z=3x-2y最小为z=30-22=-4,故选
2、B.2.(2012福建厦门一模)若不等式组x0,x+3y43x+y4,所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分,则k的值是(A)(A)73(B)37(C)43(D)34解析:作出可行域如图所示.由图可知可行域为ABC的边界及内部,y=kx+43恰过点A0,43,y=kx+43将区域平均分成面积相等的两部分,故过BC的中点D12,52,即52=k12+43,k=73,故选A.3.(2012年高考福建卷)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,x-2y-30,xm,则实数m的最大值为(B)(A)12(B)1(C)32(D)2解析:由题知满足约束条件的可行域如图
3、阴影部分所示.y=2x与x+y-3=0相交于A(1,2)m1,m的最大值为1,选B.4.(2013攀枝花市高三检测)已知x,y满足条件x-y+50,x+y0,x3,则z=y-1x+3的最大值为(A)(A)3(B)76(C)13(D)-23解析:不等式组对应的平面区域如图所示:z=y-1x+3所表示的几何意义是平面区域内的点与定点M(-3,1)连线的斜率,显然kMA最大.由x+y=0x-y+5=0得A-52,52,zmax=52-1-52+3=3.故选A.5.(2012汕头模拟)若不等式组x-y0,2x+y2,y0,x+ya表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是(D)(A)a43(B)0a
4、1(C)1a43(D)0a1或a43解析:如图所示,直线x+y=0从原点向右移动,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了;又从点A23,23向右移动时,不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形.0a1或a43.故选D.6.(2012年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获
5、得的最大利润是(C)(A)1800元(B)2400元(C)2800元(D)3100元解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x、y的约束条件为x0,xN,y0,yN,x+2y12,2x+y12.设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.由x+2y=12,2x+y=12,解得x=4,y=4,即M的坐标为(4,4),zmax=3004+4004=2800(元).故选C.二、填空题7.(2013成都七中高三月考)若不等式组x-y+50ya0x2表示的平面区域的
6、面积为5,则a的值为.解析:如图所示.不等式组对应平面区域,易求得A(2,7),B(0,5),S=12(7-a+5-a)2=5,解得a=72.答案:728.如果由约束条件0yx,y2-x,txt+1(0t1)所表示的平面区域的面积为S=f(t),则S的最大值为.解析:由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP(如图阴影部分).其面积S=f(t)=SOPD-SAOB-SECD,又P(1,1),D(2,0),B(t,0),C(t+1,0),从而SOPD=1212=1,SOAB=12t2,SECD=12(1-t)2.所以S=f(t)=1-12t2-12(1-t)2=-t2+t+12=-t2-t+1
7、4+34=-t-122+3434,当且仅当t=12时取得等号,因此所求最大值为34.答案:349.(2013南通市高三上学期期末)已知0aloga(3y-x+2),且0,3y-x+20,2x-y+10,x-3y-20,3x-4y-1-2,又x+y,所以的最大值为-2.答案:-2三、解答题10.已知、是方程x2+ax+2b=0的两根,且0,1,1,2,a、bR,求b-3a-1的最大值和最小值.解:+=-a,=2b,a=-(+),b=2,01,12,1+3,02,-3a-10b1.建立平面直角坐标系aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图所示.令k=b-3a-1,可以看成动点P(a,b)与定点A(
8、1,3)的连线的斜率.kAB=32,kAC=12,12b-3a-132.故b-3a-1的最大值是32,最小值是12.11.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足9x+4y3600,4x+5y2000,3x+10y3000,x0,y0,且x、y均为整数.作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组3x+10y-3000=0,4x+5y-2000=0,得A点坐标(200,240).答:应每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯方可获利最大.
