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1、第3讲函数的奇偶性与周期性,知 识 梳 理 1函数的奇偶性,f(x)f(x,y轴,f(x)f(x,原点,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相 同”、“相反”) (2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是 两个偶函数的和函数、积函数是 一个奇函数，一个偶函数的积函数是 (3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0),相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,0,3周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那么就
2、称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,f(x,存在一个最小,6)(2014菏泽模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是2,2(,2对函数周期性的理解 (7)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数() (8)(2013湖北卷改编)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上是周期函数(,感悟提升 1两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的
3、定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)； 二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)0，如(2,规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立,训练1】 (1)(2013湖南卷改编)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(
4、1)4，则g(1)等于_ (2)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_,解析(1)由题意知：f(1)g(1)f(1)g(1)2， f(1)g(1)f(1)g(1)4， 得g(1)3. (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)2020b0，解得b1. 所以当x0时，f(x)2x2x1， 所以f(1)f(1)(21211)3. 答案(1)3(2)3,规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x,解析
5、f(x)满足f(x4)f(x)， f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3) 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1) f(x)在区间0,2上是增函数， f(x)在R上是奇函数， f(x)在区间2,2上是增函数， f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11) 答案f(25)f(80)f(11,规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题,训练3】 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任
6、意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 014) (1)证明f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为4的周期函数,2)解x2,4，x4，2，4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8， 又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4 (3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7) f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0. f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1,3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性,反思感悟 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f(x)f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法
