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1、 中山市第一中学 2013-2014 学年度上学期第一次段考高二数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第一部分 选择题(共 40 分)一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1在 中， ， ， ，则边长 （ ）ABC 45601cbA B C D 3222632已知 中， ， ， ，则 的面积为( ) 630A1BABA9 B18 C9 D183若一元二次不等式 的解集是 ，则 的值等于 （ ）22bxa)3,2(baA14 B14 C10 D104设等差数列 的
2、前 n 项和为 ，若 ，则当 取最小值时，nS146,anS等于 （ ）nA5 B6 C7 D6 或 75对于任意实数 ， ； ；,abcd2,b若 则 2,bca则若； ； 以上结ac则若 2 a1则若 db则若 0论正确的个数是 （ ）A1 B 2 C3 D4 6下列函数中，最小值为 的是 （ ） A B3(,0)xyRx1lg(0)yxxC Dx 4sin7在 R 上定义运算 ： 若不等式 对任意)1(yx1)()(ax实数 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ）xaA. ； B. ； C. ； D. .20a213a238设数列 的前 n 项和为 ，令 ，称 为数列 ，anS12nST
3、T1a， 的“理想数” ，已知数列 ， ， 的“理想数”为 2004，那么2 1a250a数列 2， ， ， 的“理想数”为 （ 1250）A2002 B2004 C2006 D2008ks5u第二部分 非选择题(共 110 分)二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9函数 的定义域为 2lg41yx10若 ，则函数 的最小值为 33yx11已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则na132,a公比 _q12数列 中， 则 通项公式为 n ),()2,211 Nnn n13已知锐角三角形的三边长分别为 、 、 ，则实数 的取值范围是 3a14若数列 为 常
4、 数满 足 dnaann ,1，则称数列 na为“调和数列” 已知正项数列 nb为“调和数列” ，且 9021bb，则 的46b最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明，证明过程或步骤。15 （本题满分 12 分）设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ABC, ,abc2sinA（1）求角 的大小;（2 ）若 ，求 ks5u3,5acb16 （本题满分 13 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 nanS21,3aS(1)求数列 的通项公式；na(2)设 求证： 是等比数列，并求其前 项和 14bnbnT17 （本题满分 13 分）某工厂家具车间造 A、B
5、 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时，而工厂一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产A、B 型桌子各多少张，才能获最大利润？最大利润有多大？18 (本题满分 14 分)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测51点现位于 A 点北偏东 45， B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 海3里的 C 点的救援船
6、立即前往营救，其航行速度为 30 海里 /小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？ks5u19.(本题满分 14 分)已知 na是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 16,57263aa.(1)求数列 n的通项公式：（2）等比数列 b满足： 1,21ba，若数列 nnbc，求数列 nc 的前 n 项和 nS.20 （本题满分 14 分）已知数列 的前 项和为 ，且对于任意的 ，恒有 ，设nanS*nN2nSa2log(1)nnba（1）求证：数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式 和 ；,nbnab（3）若 ，证明： 12nnca1243nccks5u中山一中高二数学（理科）第一次段考参
7、考答案一、选择题 DCCB ACDA 二、填空题9 10 11 12x51212 13 14 4na2,00三、解答题15 （本题满分 12 分）解：（1）由 ，根据正弦定理得 ，sinabAsin2isnAB所以 ，由 为锐角，得 ks5u 6 分si2B6B（2 ）根据余弦定理，得 22cob2754所以， 12 分7b16 （本题满分 13 分）解：（1）121,0332adS解得 ， 6 分1,2ad2na（2） ，1,4nnnbb是首项 ，公比为 的等比数列， 10 分n12故前 项和 13 分121nnnT17 （本题满分 13 分）解：设每天生产 A 型桌子 x 张，B 型桌子
8、y 张，每天所获利润为 z 千元，依题意，得 3 分.0,93,82yx目标函数为 ， 4 分2zxy如图，作出可行域， 7 分 ks5u由 z =2 x +3 y， 得 3z，它表示斜率为 ，纵截距为 的一组平行直线233z把直线 l： 2平移至 位置时，l直线经过可行域上的点 M，此时纵截距为 最大，即利润 最大 3zz由 得 2,3xy ， 11 分,9382x, 当 时， z取最大值 13，即 z 取最大值 13， 12 分答：每天应生产A 型桌子2 张，B 型桌子3 张，才能获最大利润，最大利润为13千元 13分18 （本题满分 14 分）解：由题意知DBA90 6030，DAB 9
9、04545，ADB180 (4530) 105， 2 分在DAB 中，由正弦定理得 ，DBsin DAB ABsin ADBDB 10 (海里)，6 分ABsin DABsin ADB 53145si03又DBCDBAABC30(9060)60 ，BC20 (海里) ，3在DBC 中，由余弦定理得9 分22cosCBBCDA3001200210 20 900， 11 分3 312CD30( 海里)，则需要的时间 t 1(小时) 13 分3030答：救援船到达 D 点需要 1 小时 14 分注：如果认定DBC 为直角三角形，根据勾股定理正确求得 CD，同样给分19 （本题满分 14 分）ks5u
10、解：()设等差数列 na的公差为 d， 由 1672a.得 1276 由 35,得 ()5 -3 分由得 1d将其代入得 (13)620d。即 25690d 42d,又 2,0,代入得 a, )(nan . -6 分（） 121,bb )(nnnc, -7 分110 23S nnS2)1(2312 -10 分错位相减可得： nnnS 2)1(210 整理得： nnnn 4)12(1)(41n)2(31-7 分 nnS 2)3(1 -14 分20 （本题满分 14 分）解：（1）当 时， ，得 1n12aS当 时， ， 2)(n两式相减得： ， 2 分12na12na ，)(21nna 是以 为首项，2 为公比的等比数列 5 分1（2 ）由（1 ）得 ， nna1 *,12Nna ks5u8 分*22,log)(logbn（3 ） ， ，1nac21nac由 为正项数列，所以 也为正项数列，n从而 ，所以数列 递减10 分214)(12)(1 nnnac nc所以 112121 )()(cccnn 342)(1c14 分另证：由 ，12)12)(nnnc所以 )12()12( 3121ncc4nks5u
