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1、抽象函数经典综合题33例(含详细解答)抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答)1.定义在R上的函数y=f(x),f(0)0,当x0时,f(x)1,且对任意的a、bR,有f(a+b)=f(a)f(b),(1) 求证:f(0)=1;(2) 求证:对任意的xR,恒有f(x)0;(
2、3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)f(2x-x2)1,求x的取值范围。解 (1)令a=b=0,则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1(2)令a=x,b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时,f(x)10,当x0,f(-x)0又x=0时,f(0)=10对任意xR,f(x)0(3)任取x2x1,则f(x2)0,f(x1)0,x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数(4)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0),f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得:3x-x20 0x2时,4.已知f(x)在(1
3、,1)上有定义,f()1,且满足x,y(1,1)有f(x)f(y)f()证明:f(x)在(1,1)上为奇函数;对数列x1,xn1,求f(xn);求证()证明:令xy0,2f(0)f(0),f(0)0令yx,则f(x)f(x)f(0)0f(x)f(x)0 f(x)f(x)f(x)为奇函数 ()解:f(x1)f()1,f(xn1)f()f()f(xn)f(xn)2f(xn)2即f(xn)是以1为首项,2为公比的等比数列f(xn)2n1()解: 而 5.已知函数,满足:对任意都有;(1)试证明:为N上的单调增函数;(2),且,求证:;(3)若,对任意,有,证明:.证明:(1)由知,对任意,都有,由于
4、,从而,所以函数为上的单调增函数. (2)由(1)可知都有f(n+1)f(n),则有f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n), f(n)-f(n-1) f(2)-f(1)f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1命题得证 (3)(3)由任意,有得 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 6.已知函数的定义域为,且同时满足:(1)对任意,总有;(2)(3)若且,则有.(I)求的值;(II)求的最大值;(III)设数列的前项和为,且满足.求证:.解:(I)令,由(3),则由对任意,总有 (II)任意且,则 (III) ,即。 故即原式成
5、立。 7. 对于定义域为的函数,如果同时满足以下三条:对任意的,总有;若,都有成立,则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数,求的值;(2)判断函数是否为理想函数,并予以证明;(3) 若函数为理想函数,假定,使得,且,求证解:(1)取可得又由条件,故(2)显然在0,1满足条件;-也满足条件 若,则 ,即满足条件, 故理想函数 (3)由条件知,任给、0,1,当时,由知0,1,若,则,前后矛盾;若,则,前后矛盾故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值;()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式; ()若数列bn满足,将数列bn的项重新组合成
6、新数列,具体法则如下:,求证:。解:()令,得,令,得,由、得,又因为为单调函数,()由(1)得,()由Cn的构成法则可知,Cn应等于bn中的n项之和,其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1,即这一项为2+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 当时,解法2:9.设函数是定义域在上的单调函数,且对于任意正数有,已知.(1)求的值;(2)一个各项均为正数的数列满足:,其中是数列的前n项的和,求数列的通项公式;(3)在(2)的条件下,是否存在正数,使 对一切成立?若存在,求出M的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1),令,有,.再令
7、,有, (2),又是定义域上单调函数, 当时,由,得,当时, 由,得,化简,得,即,数列为等差数列. ,公差.,故. (3),令=,而. =, ,数列为单调递增函数,由题意恒成立,则只需=, ,存在正数,使所给定的不等式恒成立,的取值范围为.10.定义在R上的函数f(x)满足,且时,f(x)0时,0f(x)1。(1)求证:f(0)=1,且当x1;(2)求证:f(x)在R上单调递减;(3)设集合,若,求a的取值范围。解:(1)令m=1,n=0,得f(1)= f(1)f(0)又当x0时,0 f(x)1,所以f(0)=1设x0令m=x,n=x,则f(0)= f(x)f(x)所以f(x)f(x)=1又
8、0 f(x)0恒成立所以所以所以f(x2)0使,试问f(x)是否为周期函数?若是,指出它的一个周期;若不是,请说明理由。解:(1)令a=b=0则f(0)+ f(0)=2 f(0)f(0)所以2 f(0)f(0)1=0又因为,所以f(0)=1(2)令a=0,b=x,则f(x)+ f(x)=2 f(0)f(x)由f(0)=1可得f(x)= f(x)所以f(x)是R上的偶函数。(3)令,则因为所以f(x+c)+ f(x)=0所以f(x+c)= f(x)所以f(x+2c)= f(x+c)= f(x)= f(x)所以f(x)是以2c为周期的周期函数。13.已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足:(
9、1)(2)存在正常数a,使f(a)=1求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a证明:(1)设,则所以函数f(x)是奇函数。(2)令,则即解得:f(2a)=0所以所以因此,函数f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a。14.已知对一切,满足,且当时,求证:(1)时,(2)在R上为减函数。 证明:对一切有。 且,令,得, 现设,则, 而 , 设且, 则 , 即为减函数。15.已知函数是定义在上的减函数,且对一切实数x,不等式恒成立,求k的值。 分析:由单调性,脱去函数记号,得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立,则有 16.设定义在上的函数对于任意都有成立,且
10、,当时,。(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)试问:当-20032003时,是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由;(3)解关于的不等式,其中.分析与解:令x=y=0,可得f(0)=0令y=-x,则f(0)=f(x)+f(x),f(x)= f(x),f(x)为奇函数设3x1x23,y=x1,x=x2则f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1),因为x0时,f(x)0,故f(x2x1)0,即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在区间2003、2003上单调递减x=2003时,f(x)有最大值f(2003)=f(2003)=f(2002+1)=f(2002)+f(1)=f(2001)+f(1)+f(1)=2003f(1)=4006。x=2003时,f(x)有最小值