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1、抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（
2、3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。解 （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x2时，4.已知f(x)在(1
3、，1)上有定义，f()1，且满足x，y(1，1)有f(x)f(y)f()证明：f(x)在(1，1)上为奇函数；对数列x1，xn1，求f(xn);求证()证明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0令yx，则f(x)f(x)f(0)0f(x)f(x)0 f(x)f(x)f(x)为奇函数 ()解：f(x1)f()1，f(xn1)f()f()f(xn)f(xn)2f(xn)2即f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列f(xn)2n1()解： 而 5.已知函数，满足：对任意都有；（1）试证明：为N上的单调增函数；（2），且，求证：；（3）若，对任意,有，证明：.证明：（1）由知，对任意，都有，由于
4、，从而，所以函数为上的单调增函数. （2）由（1）可知都有f(n+1)f(n),则有f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n), f(n)-f(n-1) f(2)-f(1)f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1命题得证 （3）（3）由任意,有得 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。 故即原式成
5、立。 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证解：（1）取可得又由条件，故（2）显然在0，1满足条件；-也满足条件 若，则 ，即满足条件， 故理想函数 （3）由条件知，任给、0，1，当时，由知0，1，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值；()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式； ()若数列bn满足，将数列bn的项重新组合成
6、新数列，具体法则如下：，求证：。解：()令，得，令，得，由、得，又因为为单调函数，()由（1）得，()由Cn的构成法则可知，Cn应等于bn中的n项之和，其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1，即这一项为2+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1），令，有，.再令
7、，有， （2）,又是定义域上单调函数， 当时，由，得，当时， 由，得，化简，得，即，数列为等差数列. ，公差.，故. （3），令=,而. =， ，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=， ，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为.10.定义在R上的函数f（x）满足，且时，f（x）0时，0f（x）1。（1）求证：f（0）=1，且当x1；（2）求证：f（x）在R上单调递减；（3）设集合，若，求a的取值范围。解：（1）令m=1，n=0，得f（1）= f（1）f（0）又当x0时，0 f（x）1，所以f（0）=1设x0令m=x，n=x，则f（0）= f（x）f（x）所以f（x）f（x）=1又
8、0 f（x）0恒成立所以所以所以f（x2）0使，试问f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。解：（1）令a=b=0则f（0）+ f（0）=2 f（0）f（0）所以2 f（0）f（0）1=0又因为，所以f（0）=1（2）令a=0，b=x，则f（x）+ f（x）=2 f（0）f（x）由f（0）=1可得f（x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函数。（3）令，则因为所以f（x+c）+ f（x）=0所以f（x+c）= f（x）所以f（x+2c）= f（x+c）= f（x）= f（x）所以f（x）是以2c为周期的周期函数。13.已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足：（
9、1）（2）存在正常数a，使f（a）=1求证：（1）f（x）是奇函数；（2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a证明：（1）设，则所以函数f（x）是奇函数。（2）令，则即解得：f（2a）=0所以所以因此，函数f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a。14.已知对一切，满足，且当时，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 证明：对一切有。 且，令，得， 现设，则， 而 ， 设且， 则 ， 即为减函数。15.已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有 16.设定义在上的函数对于任意都有成立，且
10、，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-20032003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于的不等式，其中.分析与解：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)为奇函数设3x1x23，y=x1，x=x2则f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因为x0时，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在区间2003、2003上单调递减x=2003时，f(x)有最大值f(2003)=f(2003)=f(2002+1)=f(2002)+f(1)=f(2001)+f(1)+f(1)=2003f(1)=4006。x=2003时，f(x)有最小值
