《2019-2020学年人教版高一数学新教材二同步学案8.6 空间直线、平面的垂直(第三课时解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019-2020学年人教版高一数学新教材二同步学案8.6 空间直线、平面的垂直(第三课时解析版)(39页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题8.6 空间直线、平面的垂直(第三课时)运用一 概念辨析【例1】(2019上海市向明中学高二期末)设为两个不同平面,若直线在平面内,则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】结合面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.若直线l,且l,由判断定理得.所以直线l,且l可得.即必要性成立.若,直线l,则直线l,或直线l,或直线l与平面相交,或直线l在平面内.即充分性不成立.所以“”是“l”的必要不充分条件.故选:B.【举一反三】1(2019浙江诸暨中学高二月考)已知,是平面内的两条直线,是空间中的一条直
2、线.则“直线且”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】,反之不一定成立,例如时“直线且”是“”的必要而不充分条件故选:B2如果直线与平面满足,那么必有( )A.且B.且C.且D.和【答案】A【解析】,.,故选A.3(2019山西高二月考(文)设,为两个不同的平面,为两条不同的直线,则下列判断正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】B【解析】A选项不正确,根据垂直于同一个平面的两个直线平行,可得;B选项正确,若,则存在,在平面内存在,由,可得 ,由线面垂直的判定定理可得;C选项不正确,因为根据面面垂直的性质
3、定理,需要加上“在平面内或者平行于”这个条件,才能判定;D选项不正确,直线可能在平面上运用二 体积【例2】(2019广东高三月考(文)如图,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点将沿直线DE折起到的位置,使平面平面BCDE(1)证明:平面PDE(2)设F为线段PC的中点,求四面体D-PEF的体积【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)因为,E为AB的中点,则又,则为正三角形,所以因为,则从而,即因为平面平面BCDE,平面平面平面BCDE,所以平面PDE(2)取PE中点G,连结FG由于E为AB的中点,则,而,则,则因为F为C的中点,则,所以平面PDE 在中,则,即,所以,则【举一反三】1(20
4、19陕西高一期末)如图,在四棱锥中,底面为菱形,,,面面,为等边三角形,为的中点(1)求证:平面;(2)若是的中点,求三棱锥的体积【答案】(1)详见解析(2)【解析】(1)证:因为为等边中边的中点,所以,又因为在菱形中,所以为等边三角形,为的中点,所以,而,所以平面.(2)解:由(1)知,面面,所以底面,因为等边的边长为2,所以,易知为边长为2的等边三角形,所以三棱锥的体积为:,因为是的中点,所以,所以三棱锥的体积为2(2019广东佛山一中高二月考)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAB平面ABCD,ABAP3,ADPB2,E为线段AB上一点,且AEEB72,点F、G分别为线段P
5、A、PD的中点(1)求证:PE平面ABCD;(2)若平面EFG将四棱锥PABCD分成左右两部分,求这两部分的体积之比【答案】(1)见解析;(2)【解析】证明:在等腰APB中,得,则由余弦定理可得, PE2+BE24PB2,PEAB, 平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,PE平面ABCD (2)解:设平面EFG与棱CD交于点N,连接EN,因为GFAD,所以GF平面ABCD,从而可得ENAD延长FG至点M,使GMGF,连接DM,MN,则AFEDMN为直三棱柱, F到AE的距离为,又,运用三 点面距【例3】(2019河南南阳中学高三开学考试(文)如图,已知四棱锥的底面是梯形, 且 (
6、1)若为的中点,证明:平面(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)证明:因为 , 又为的中点连接,在中,为的中点 ,又PO平面 (2)解:设点到平面的距离为,则,. 在中,,. 由,得,解得.【举一反三】1(2019四川双流中学高二开学考试(理)如图,四边形是边长为2的菱形,.(1)求证:平面平面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析(2)【解析】(1)证明:,同理,平面,;又四边形为菱形,平面,平面,平面平面.(2)解1:设到平面的距离为,连接,由(1)可知四边形时直角梯形,.又平面,又中,由,解得:.所以点到平面的距离为.解2:由(1)平面平面,又平
7、面平面,且平面,过作,垂足为点,则平面,所以即为点到平面的距离,分别以,为,轴建立直角坐标系,则,则:,.运用四 线面距【例4】(2019浙江绍兴一中高三期末)已知正四棱柱中,为的中点,则直线 与平面的距离为( )A.1B.C.D.2【答案】A【解析】如图,连接交于,在三角形中,易证,平面直线与平面的距离即为点到平面的距离,设为在三棱锥中,在三棱锥中,故选【举一反三】1(2019上海格致中学高三开学考试)在直三棱柱中,.(1)求异面直线与所成角的大小;(2)求直线与平面的距离.【答案】(1) .(2) .【解析】(1)因为,所以 (或其补角)是异直线与所成角.因为,所以平面,所以.中,所以,所
8、以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面,所以到平面的距离等于到平面的距离,设到平面的距离为,因为,可得,直线与平面的距离为.2(2017上海交大附中高考模拟)如图,在长方体中,.(1)证明直线平行于平面;(2)求直线到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)因为为长方体,故,故为平行四边形,故,显然不在平面上,于是直线平行于平面,(2)直线到平面的距离即为点到平面的距离设为 考虑三棱锥的体积,以面为底面,可得而中,故 所以,即直线到平面的距离为.运用五 面面距【例5】(2018全国高考模拟(文)如图,直角梯形与梯形全等,其中,且平面,点是的中点(1)求证:平面平面;(2)求
9、平面与平面的距离【答案】(1)见解析(2)【解析】(1),是的中点,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面,直角梯形与梯形全等,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面,平面 平面(2)设点到平面的距离为,易知,由,得,即,平面平面,平面与平面间的距离为1.(2019山东高二期末)如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,为的中点,点在上,平面平面.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析(2)【解析】(1)平面,又四边形为正方形,且,平面,为的中点,且,平面;(2)作于,连接,如图所示:平面平面,面,由(1)知平面,又平面平面,面,平面,平面,平面平面,平面,四边形为平行四
10、边形,为的中点,2(2019云南师大附中高三月考(文)如图甲,在直角梯形中,过点作,垂足为,现将沿折叠,使得.取的中点,连接、 ,如图乙.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)在图甲中,直角梯形中,则.折叠后,在图乙中,又,平面.,平面;(2)由(1)知,又,且,平面.为的中点,所以,三棱锥的高为,易知四边形是矩形,则,的面积为,因此,.3(2019上海交大附中高二期中)如图,在四棱锥中底面,为直角,分别为的中点.(1)试证:平面;(2)求与平面所成角的大小;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】(1),为直角
11、, 四边形为矩形 又平面,平面 又,平面, 平面平面 分别为中点 平面, 平面(2)由(1)知,在平面内的射影为即为直线与平面所成角四边形为矩形 在中, 即直线与平面所成角大小为:(3),又为中点 4(2019江西高三月考(文)如图,已知直三棱柱中,是的中点,是上一点,且.()证明:平面;()求三棱锥的体积【答案】()证明见解析;().【解析】()连接,在中,依题意为等腰三角形且,由面积相等,解得,由于三棱柱是直三棱柱,故面,那么.在直角三角形中,因为,所以,又由,所以,又因,故为直角,即,又由,所以得面,所以,由,故面.()过作,连接,交于点,过作,交于点,因为面,所以,又因,所以面,所以面
12、,又由,所以,所以.5(2019湖南长沙一中高三月考)如图,等腰梯形MNCD中,MDNC,MNMD2,CDM60,E为线段MD上一点,且ME3,以EC为折痕将四边形MNCE折起,使MN到达AB的位置,且AEDC(1)求证:DE平面ABCE;(2)求点A到平面DBE的距离【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)等腰梯形MNCD中,MDNC,CDMD2MD4,CDMN2,CED中,CDE60,EDMD-EM1,则由余弦定理CE,CE2+ED2=CD2CEDE,CEME,CEAE又AEDC,DCCEC,AE平面CED而平面CED,又,AECFEDE平面ABCE(2)由(1)因CEAE,则因DE平面A
13、BCE,则等腰梯形MCD中MDNC,MD4,CD=MN2,CEDE,DE1则NC=MD-2DE=2,故BC2,设点A到平面DBE的距离为h,因DE平面ABCE则,得h所以点A到平面DBE的距离为6(2019安徽高一期末)如图,圆锥中,是圆的直径,是底面圆上一点,且,点为半径的中点,连.()求证:平面;()当是边长为4的正三角形时,求点到平面的距离.【答案】()见证明;()【解析】()证明:在圆锥中,则平面,又因为平面,所以,因为,所以,又,所以为等边三角形,因为为中点,所以,又,所以平面;()依题意,因为为直径,所以,又,所以,中,边上的高为,的面积为,又,则面积为,所以,解得.7(2019贵州高二开学考试(文)如图,已知在直四棱柱中,(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)设是的中点,连结,则四边形为正方形,