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1、2.1 二阶矩阵与平面向量学习目标：1.矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和表示；2.握二阶矩阵与平面列向量的乘法法则；3.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。学习过程：一、课前预习1. 矩阵的概念我们把形如 ， ， 这样的 （或 ）阵列称为矩阵.2480965234m用大写黑体拉丁字母 或者 来表示矩阵，其中 分别表示 所在的 与 .,ij同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做 ；同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做 ；而组成矩阵的每一个数（或字母）称为 .2. 与矩阵有关的概念（1）零矩阵： ，记为 .（2）行矩阵： .（3）列矩阵： ，通常用 来表示.（4
2、） 阶矩阵：若矩阵含有 行 列 ，则记为 阶矩阵.形如 的数表称为二阶矩阵.nnnabcd3. 矩阵相等： ，记作 .4. 矩阵与平面向量的关系平面上向量 的坐标和平面上的点 都可以看成是行矩阵 ，也可以看成是(,)axy(,)Pxy,xy.因此，常把 称为行向量，把 称为列向量.习惯上，把平面向量 的坐标写xy ()成列向量 的形式.因此， 既可以表示点 ，也可以表示 ，在不引起混淆xy(,)xy,OPxy的情况下，不加以区别.5.行矩阵 与列矩阵 的乘法规则为： 12a12b。6.二阶矩阵 与列向量 的乘法规则： 120xy。7.矩阵的变换一般地，对于平面上的任意一个点（向量） ，按照对应
3、法则 ，总能对应唯一的一(,)xyT个平面点（向量） ，则称 为一个 ，简记为： 或 (,)xyT由矩阵 确定的变换 ，通常记作 .M二、典型例题例 1 （1）设矩阵 A 为二阶矩阵，且规定其元素 ，则 A= 。2,1;,2ijajij（2） = ，并解释计算结果的几何意义 3 2-。（3）由矩阵 所表示的三角形的面积是 。( 参考 P3 例 1)12（4）已知 ， ，若 A=B，则 3xyA17Babxyab。（5）已知变换 ，将它写成坐标变换的形式是 。3 02xxyy（6）已知变换 ，将它改写成矩阵的乘法形式 5:T。例 2设矩阵 ，且 ，试求1sin2 +cos 2coi-cab0,a
4、bc例 3.设平面上一矩形 ABCD，A(0,0)，B(2,0)，C(2,1) ，D(0,1)，在矩阵 对应的变换作用1 2下依次得到 。 （1）求 的坐标；（2）判断四边形 的形状，,ABCD,ABCD ABCD并求其面积。【自我评价】1.已知 A(3,1)， B(5,2)，则表示 的列向量为 。AB2.已知 ，则 。7324xymnmnxy3.已知 ，若 ，则 。1,Axyn4. = 。3 525.某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯 30S，黄灯 3S，红灯 20S，如果分别用1，0，1 表示绿灯、黄灯、红灯，试用 2 矩阵表示该路口的时间设置为 3。6.点 A(3,4)在矩阵
5、对应的变换作用下得到的点坐标为 。027.已知 ，将它写成矩阵的乘法形式是 。3xxyy8.设矩阵 A 为 矩阵，且规定其元素 ，其中 ，那么 A 中所有元,ijjai,12,3ij素之和为 。9.设 ，求在矩阵 A 对应的变换作用下得到点(5,15)的平面上的点 P 的坐标。124 310.某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为：又平日、期中、期终三次成绩各自的权重分别为：平日：30%；期中：30%；期终：40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？11.求直线 经二阶矩阵 的变换后的图形的方程式。210xy3 10答案：A。解析： ，所求列向量为 。(2,1)AB21答案：B。解析： = 。3 55()0答案： 。1 0-32答案：（3，8） 。解析： 。1 03043428答案： 。2 1xxyy答案：38。解析：由题意知 ，故 A 中所有元素之和为 38。345 9A答案：设 ，则(,)Pxy1 22253,4331431xyxyxy所求点 P 的坐标为（3，1） 。外： 。80.7.950.48答案：语： ；数： ；93答案：设变换后的图形上的任一点为 ，与之对应的原直线上的点为 ，(,)xy(,)xy上， 即 这就是变换后图形的方程式。210xy2(3)10yx2710则 ， 即 ， 在直线3 xy3xy(,)xy
