有理数的加法减法及加减混合运算一． 基础知识通览项目内容备注有理数加减法则1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得03．一个数同0相加，仍得这个数在进行有理数加法运算时，先确定运算结果符号，再将两数的绝对值相加加法加法交换两个数相加，交换加数的位置，和不变a＋b＝b＋a把正数，负数分别结合，互为相反数相结合，同分母分数相结合比较简便加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 有理数加减法则减去一个数，等于加上这个数的相反数在有理数的减法运算未转化为理数加法运算时，被减数与减数的位置不能交换，对于减法运算来说没有交换律”有理数加减混合运算在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数的减法法则，把减法转化为加法，式子就成为几个正数或负数的和几个正数或负数的和，有时也叫做代数和1)在一个算式中，一个数的前面有两个符号时，把前面一个读作“加”或“减”，把后面一个读作“正”或 “负”,切不可把同一个符号既看作性质符号又看作运算符号。
2)在一个代数和里,通常可把加号略去不写,同时去掉每个加数的括号,以简化书写形式二．典型例题例1如果实数a与b互为相反数，则a、b满足的关系为（ ）A）ab=1 （B）ab=-1（C）a+b=0 （D）a-b=0例2（1）求比-7大-5的数；（2）（-4）+|-2|=_______例3（1）计算：2-（-3）=________2） .例4 把（-9）-（+8）+（-3）-（-6）写成省略括号和的形式.例5 求代数和.（1）-3.7+10+4.5-5-6.3+2.5; （2）- + +- .例6 已知 =5, ∴ =7,求a-b的值.例7 计算：（1）3．75-（-）-（+4）+（-）+（-6）； （2）7 -4 -18 +6.例8 计算1 例题答案例1 分析：因为实数a与b互为相反数，根据“互为相反数的两个数相加得0”，所以a+b=0，故选（C）例2 分析：（1）根据加法的意义，求比-7大-5的数，用加法2）本题属绝对值不相等的异号两数相加，根据有理数加法法则：取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小绝对值解：（1）（-5）+（-7）=-（5+7）= -12，所以比-7大-5的数是-12。
2）（-4）+（+2）=-（4-2）= -2说明：进行有理数的加法运算时，要严格按照加法法则进行例3 分析：（1）2-（-3）=2+（+3）=5解：（1）5说明：有理数的减法运算可以转化为有理数的加法运算，将减法转化为加法时，必须把减数改为它的相反数对于省略加号的加法算式，开始学习时，对这类计算题仍可先写成有加号的加法算式去计算例4 分析：先根据减法法则将减法转化成加法，然后再把加号和括号省略.解： （-9）-（+8）+（-3）-（-6） =-9+（-8）+（-3）+（+6） =-9-8-3+6例5 分析:在有理数加减法混合运算统一成加法后,式子写成了省略括号的和的形成.在运算中,可以把式子里的符号理解成性质符号,再用加法的交换律和结合律,将正数、负数分别结合在一起.解：（1）-3.7+10+4.5-5-6.3+2.5=(-3.7-5-6.3)+(10+4.5+2.5)=-15+17=2(2)- + + - =(- - )+(+)=- + = 例6 分析:这个题的关键是要熟悉绝对值的一对二关系,这个关系决定了a、b各有两个值.因此a-b就有四种情况，必须无遗漏地进行讨论，分别求出它们的值.解：∵ =5，∴a=5或-5， ∵ =7，∴b=7或-7.(1)当a=5,b=7时,a-b=5-7=-2;(2)当a=5,b=-7时.a-b=5-(-7)=12;(3)当a=-5,b=7时,a-b=-5-7=-12;(4)当a=-5,b=-7时,a-b=-5-(-7)=-5+7=2.例7 解：（1）原式=3 + -4 - -6 =3 -6 + - -4 =-3-4 =-7 ；（2）原式=（7+6-4-18）+（ ）+（ ） =-9+ =-8 注：第（1）小题中，有省略括号、减法转化为加法、同分母先相加等要点；第（2）小题中，利用了分拆的数学方法、把整数、分数、互为相反数分别结合.例8 分析：直接计算需要通分，而且项数多，公分母较大，仔细分析不难发现： ，， ， ， ，再求代数式和可以消去很多项，因而再计算就很简便.解：原式=1+ -（ + ）+ + -（ + ）+ + -（ + ）=1- = 所得结果是一样的，但不如前一种方法巧妙. 练习一、填空题1．计算：（1）（+3）+（+5）=__________；（2）（+4）+（ ）= -8；（3） ；（4）（ ）-（-6）=15；（5）0-（-13.5）=__________；（6）-9+8-17+12=__________。
2．绝对值不大于5的所有的整数的和是__________3． 和它相反数的差的绝对值是__________4．观察数轴，用“>”、“<”或“=”号填空1）a+b__________0；（2）a-b__________0；（3）-a-b__________0；（4）-a+b__________0；（5）-|a|+b__________0；（6）|b|+a__________0二、选择题1．异号两数相加，和为正数，则（ ）A）正数的绝对值较大 （B）负数的绝对值较大（C）两数的绝对值相等 （D）两数的绝对值大小无法确定2．一个数是20，另一个数比15的相反数小2，则这两个数的和为（ ）A）-3 （B）2 （C）3 （D）-23．若|x|=3，|y|=5，则x+y的值一定是（ ）A）8 （B）2 （C）-8 （D）8或24．用简便方法计算： 的值是（ ）A）0 （B）1 （C）2 （D） 5．下列说法正确的是（ ）A）绝对值相等的两数和为零（B）减去一个数，等于加上这个数（C）零减去一个数仍得这个数（D）在有理数加减法中，和不一定比加数大，差或减数不一定小于被减数6．若|a|+|b|=|a+b|，则a与b的关系是（ ）。
A）相等 （B）同号 （C）异号 （D）互为相反数三、解答题1．计算下列各题：（1） ；（2） ；（3）48-（+73）；（4）-|8-（+15）|；（5）3-23-10；（6） 2．用简便方法计算下列各式：（1）（-0.8）+4.2+0.8+(-5.7)；（2） ；（3） 3．当a=2，b=-3，c=-5时，求下列代数式的值1）-（a+b）-c；（2）a-（-b）-c4．求下列各式的x：（1）|x-3|=6；（2）|x+5|=9 答案： 一、1．（1）8 （2）-12 （3） （4）+9 （5）+13.5 （6）-6 2．0 3． 4．（1）< （2）> （3）> （4）< （5）< （6）>二、1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.B三、1．（1）2.5 （2） （3）-25 （4）-7 （5）-30 （6） 2．（1）-1.5 （2） （3） 3．（1）6 （2）4 4．（1）9或-3 （2）4或-14。