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1、第 10 讲 待定系数法(高中版)（第课时）D重点：1 ；2 ；3 。难点：1 ；2 ；3 ；。1 ；2 ；3 。1 ；2 ；3 。在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，
2、解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。二次函数解析式有三种表达形式， 1一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a0, a, b, c 为常数2顶点式：y=a(x-h) 2+k ；其中 a0, a, h, k 为常数， （h,k）为顶点坐标。3交点式：y=a(x-x 1)(x-x2)；其中 a0, a, x1,x2 为常数，x 1,x2 是抛物线与横轴两交点的横坐标。每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与 x 轴的两个交点（或与
3、x 轴的一个交点及对称轴） ，用交点式。解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。若题目给定二次函数解析式的某种形式（如 y=ax2+ bx+c=0 (a0)） ，那么最后的结果必须写成此种形式。1待定系数法在求数列通项中的应用例.（高三）数列a 满足 a =1，a = a +1（n2） ，求数列a 的通项公式。n1n1n神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！分析：一般地，形如 a =p a +q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数1nq 分解，只要设
4、 a +k=p（ a +k）并与原式比较系数可得出 k，从而得等比数列a +k。1n n解：令 a +k = (a +k) ，即 a = a - k ，与原式比较系数可得 k=-2 ，2n21则由 a = a +1（n2）得 a 2= （a 2） ，而 a 2=1 2=1 ，n1 n1 数列 a 2是以 为公比，1 为首项的等比数列， a 2=（ ） ， a =2（ ） 。n2nn21n点评：本题使用待定系数法求数列通项。例.（高三）数列a 满足 =0，求数列a 的通项公式。n 23,5,11 nann分析：对于 型的递推式，通过对系数 p 的分解，可得等比数列nqapa2，这只要设 ，再比较
5、系数得 ，1n )(11nnkhk qhk可解得 、 。qhkh本题递推式 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中032n间一项 的系数分解成 1 和 2，适当组合，可发现一个等比数列 。1na 1na解：由 得 ，na0)(2112nna即 ，且 ，）n12( 35 是以 2 为公比，3 为首项的等比数列， ，1n 12n利用逐差法可得 121)()() ann = 3201nn= )(= 3= 12n 。1nna2待定系数法在求复数中的应用3待定系数法在三角中的应用4待定系数法在立几中的应用5待定系数法在求曲线方程中的应用解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：
6、设曲线方程条件转换成关于待定系数的方程（组）求出系数把系数代入所设的曲线方程。例.（高三）一个圆经过 点，和直线 相切，并且圆心在直线 )1,2(p1yx上，求它的方程。xy2解：设圆的方程为 ，22)()(rbyax则 abr21)(2解之得 或 1489r2r故所求方程为 或 。39)18()(2yx 8)2()1(2yx能力测试 认真完成！1 2 3 4 5 6 7 8求数列通项 复数 求复数三角立几解几 求曲线方程 1.（高三）数列a 满足 a =1， ，求数列 a 的通项公式。n10731nan解：由 得 ，0731a3n设 a ，比较系数得 ，解之得 ，)(kknn k47k 是以
7、 为公比，以 为首项的等比数列，434714a ，1)(7nn 。a点评：本题使用待定系数法求数列通项。2.（高三）数列a 中， ，求数列a 的通项公式。n nnaaa12213, n解：由 得 设n23,1n )(112nkahk比较系数得 ，解得 或3khk， 3hk,若取 ，则有1,h )(112nnaa 是以 为公比，以 为首项的等比数列1na 2 1)3(n由逐差法可得 1221)()() aaan= 3)()1( 232nn= =31 11)(47)(4 nn点评：若本题中取 ，则有 即得 为常,3hk nnnaa331231nna参考答案 仔细核对！数列，故 。371233121
8、 aaannn 3.（高三）设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是 ，求椭圆的方程。05【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据 a、b、c 之值，问题就全部解决了。设 a、b、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 ac 的值后列出第二个方程。【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c，则|BF|a 解得： bac22105()b105 所求椭圆方程是： 1x2y点评：本题使用待定系数法求曲线方程。本题也可由垂直关系推证出等腰 RtBBF后，由其性质推证出等腰 RtBOF ，再解 ，更容易求出 a、b 的值。bca0522 BB AFOFyA x
