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1、江西省南昌市 2015-2016 学年度第一学期期末试卷(江西师大附中使用)高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。1回归教材,注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利 70 周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感
2、受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。2适当设置题目难度与区分度选择题第 12 题和填空题第 16 题以及解答题的第 21 题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。3布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方
3、式贯穿于整个试题的解答过程之中。二、亮点试题分析1 【试卷原题 】11.已知 是单位圆上互不相同的三点,且满足 ,则,ABCABC的最小值为( )ABCA 4B 12C 3D 【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识,是向量与三角的典型综合题。解法较多,属于较难题,得分率较低。【易错点】1 不能正确用 , , 表示其它向量。OABC2找不出 与 的夹角和 与 的夹角的倍数关系。B【解题思路】1把向量用 , , 表示出来。2把求最值问题转化为三角函数的最值求解。【解析】设单位圆的圆心为 O,由 得, ,因为AB22()()OBACO,所以有, 则1OABCC()()22A
4、设 与 的夹角为 ,则 与 的夹角为 2OB所以, coss1BC1(cos)即, 的最小值为 ,故选 B。2【举一反三】【相似较难试题】 【2015 高考天津,理 14】在等腰梯形 中,已知ABCD,动点 和 分别在线段 和 上, 且,/,1,60ABDCBACEF则 的最小值为 .9EF【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求 ,体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算 ,,AEF AEF体现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.【答案】 2918【解析】因为 ,,
5、DFC12AB,119918CFDCDCAB,AEBAB,9FC221 198188ABABC 19942cos0817729291当且仅当 即 时 的最小值为 .23AEF182 【试卷原题 】20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 的焦点 ,其准线与 轴的C,0Fx交点为 ,过点 的直线 与 交于 两点,点 关于 轴的对称点为 KlC,BAxD()证明:点 在直线 上;FD()设 ,求 内切圆 的方程.89ABKM【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系,圆的标准方程,韦达定理,点到直线距离公式等知识,考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法,是直
6、线与圆锥曲线的综合问题,属于较难题。【易错点】1 设直线 的方程为 ,致使解法不严密。l(1)ymx2不能正确运用韦达定理,设而不求,使得运算繁琐,最后得不到正确答案。【解题思路】1设出点的坐标,列出方程。2利用韦达定理,设而不求,简化运算过程。3根据圆的性质,巧用点到直线的距离公式求解。【解析】 ()由题可知 ,抛物线的方程为 1,0K24yx则可设直线 的方程为 , ,lxmy11,AxBDy故 整理得 ,故 214xmy2421my则直线 的方程为 即BD212yx2214yx令 ,得 ,所以 在直线 上. 0y124yx,0FBD()由()可知 ,所以 ,12m212124xym又 ,
7、121xmy,A,Fxy故 ,22121258FABxyx则 ,故直线 的方程为 或2844,93ml340xy340xy, 222112 716yyym故直线 的方程 或 ,又 为 的平分线,BD70xxyKFBD故可设圆心 , 到直线 及 的距离分别为 -,0Mtt,tl31,54tt-10 分由 得 或 (舍去).故圆 的半径为3154tt19tM23tr所以圆 的方程为 24xy【举一反三】【相似较难试题】 【2014 高考全国,22】 已知抛物线 C:y 22px(p0)的焦点为 F,直线 y4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF| |PQ|.54(1)求 C 的
8、方程;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用, 韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.【答案】 (1)y 24x. (2)xy10 或 xy 10.【解析】 (1)设 Q(x0,4) ,代入 y22px,得 x0 ,8p所以|PQ| , |QF| x 0 .8pp2p28p由题设得 ,解得 p2(舍去)或 p2,p28p548p所以 C 的方程为 y24x.(2)依题意知 l
9、与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x my1(m0) 代入 y24x,得 y24my 40.设 A(x1,y 1), B(x2,y 2),则 y1 y24m,y 1y24.故线段的 AB 的中点为 D(2m21,2m),|AB| |y1y 2|4(m 21)m2 1又直线 l 的斜率为m,所以 l 的方程为 x y2m 23.1m将上式代入 y24x,并整理得 y2 y4(2m 23)0.4m设 M(x3,y 3),N(x 4,y 4),则 y3 y4 ,y 3y44(2m 23)4m故线段 MN 的中点为 E ,( 2m2 2m2 3, 2m)|MN| |y3y 4| .1 1m2 4(
10、 m2 1) 2m2 1m2由于线段 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|BE| |MN|,12从而 |AB|2|DE| 2 |MN|2,即14144(m21) 2 (2m 2m)2 ( 2m2 2)2 ,4( m2 1) 2( 2m2 1)m4化简得 m210 ,解得 m1 或 m1,故所求直线 l 的方程为 xy 10 或 xy10.三、考卷比较本试卷新课标全国卷相比较,基本相似,具体表现在以下方面:1. 对学生的考查要求上完全一致。即在考查基础知识的同时,注重考查能力的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学
11、素养,既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度,又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平,符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则2. 试题结构形式大体相同,即选择题 12 个,每题 5 分,填空题 4 个,每题 5 分,解答题 8 个(必做题 5 个) ,其中第 22,23,24 题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点,大部分属于常规题型,是学生在平时训练中常见的类型解答题中仍涵盖了数列,三角函数,立体何,解析几何,导数等重点内容。3. 在考查
12、范围上略有不同,如本试卷第 3 题,是一个积分题,尽管简单,但全国卷已经不考查了。四、本考试卷考点分析表(考点/知识点,难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题)题号 *考点 *试题难度 *分值 *解题方式 *易错率 区分度1复数的基本概念、复数代数形式的混合运算 易 5 直接计算 25% 0.852函数 y=Asin(x+ )的图象变换、函数的图象与图象变化 中 5 数形结合 65% 0.603 定积分、定积分的计算 易 5 正面解 30% 0.754 条件语句、选择结构 中 5 正面解 55% 0.505裂项相消法求和、等差数列与等比数列的综合 难 5 归纳推理 85% 0.406其
13、它不等式的解法、不等式的综合应用 难 5数形结合综合法 80% 0.457棱柱、棱锥、棱台的体积、简单空间图形的三视图、由三视图还原实物图中 5 数形结合 85% 0.408求二项展开式的指定项或指定项的系数、等差数列的基本运算、数列与其它知识的综合问题中 5 运用公式 计算 70% 0.459不等式恒成立问题、不等式与函数的综合问题 中 5化归与转化综合法70% 0.5010双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、圆锥曲线中的范围、最值问题难 5数形结合代数运算演绎推理85% 0.4011向量在几何中的应用、平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及几何意义难 5 数形结合 分析法 88%
14、 0.3512指数函数综合题、指数函数单调性的应用、指数型复合函数的性质及应用难 5数形结合综合法分析法90% 0.3013 导数的几何意义 易 5 正面解 30% 0.7014两角和与差的正弦函数、同角三角函数基本关系的运用、三角函数的恒等变换及化简求值中 5 正面解 70% 0.4015古典概型的概率、点与圆的位置关系、两条直线平行的判定 难 5化归与转化代数运算85% 0.3516向量在几何中的应用、平面向量的综合题、三角形中的几何计算难 5数形结合化归与转化建坐标系法90% 0.3017等差数列与等比数列的综合、等差数列的性质及应用、等比数列的性质及应用、函数yAsin(x )的应用、两角和与差的正切函数易 12直接解法数形结合逻辑推理 30% 0.7518离散型随机变量的分布列的性质、概率的应用、离散型随机变量及其分布列、均值与方差中 12 分析法代数计算70% 0.5519平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面垂直的判定与性质、线面角和二面角的求法中 12 数形结合逻辑推理 70% 0.4520抛物线的定义及应用、直线、圆及圆锥曲线的交汇问题、圆方程的综合应用难 12数形结合等价变换代数运算83% 0.4021导数的运算、不等式恒成立问题、函数的最值及其几何意义、不等式与函数的综合问题难 12分析法数形结合演绎推理97% 0.2622圆的切线的性质定理的证明、与