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1、压电有关理论和公式1 / 23压电有关理论和公式1 弹性1.1 应力 12133xyxzzxyzTT123xyznTij = Tji，应力矩阵只有 6 个独立分量。某个方向 n 上的应力： Tn = Tn1.2 应变正应变：线段的相对伸长或缩短称为正应变。 ， ，xuSyvzwS切应变：方向的变化。， ，1()2xyvuSxy1()2yzwSz1()2zxzux113223xxzyyzxzSij = Sji，应变矩阵只有 6 个独立分量。应变各分量带有位移梯度的意思，因此，应变矩阵又称为位移梯度矩阵。1.3 下标缩写 4.p24由于应力，应变等的矩阵 9 个分量只有 6 个是独立的，可以讲 3
2、3 矩阵缩写为一个 6 个分量的列向量，坐标缩减方式为：双下标 xx(11) yy(22) zz(33) yz,zy(23,32) zx,xz(31,13) xy,yx(12,21)单下标 1 2 3 4 5 6对于应变还要引入因子 1/2，有： Syz= S4，S zx= S5，S xy= S6，对于应力没有此因子。1212123456SS3456TT1.4 胡克定律和弹性常数 4.p25应力与应变之间的线性关系可用胡克定律表示： T = cS， S=sT其中，c 为弹性刚度常数，s 为弹性柔顺常数。81 个弹性常数分量中，只有 21 个独立参数，且有： ijkljilijlkjilklij
3、cc展开求和形式为： Tmn=cmnpqSpq，S mn=smnpqTpq (i,j,p,q = 13)缩减下标形式： Ti=cijSj，S i=sijTj (i,j = 16)其中：sij = smnpq i,j = 13sij = 2 smnpq i or j = 46sij = 4smnpq i,j = 46对于应力没有此因子。压电有关理论和公式2 / 23弹性刚度系数与弹性柔顺系数互为逆矩阵： s = c-11.5 坐标变换1.5.1 坐标基矢量的表示设变换前的坐标系 o-xyz 坐标基矢量为： 10Iijkijk我们可以把此坐标系下的向量用一个列向量来表示，比如：， ，10ijk01
4、jijk01ijk1.5.2 向量在坐标系中的表示对于笛卡尔坐标系（O-xyz）中的任意向量矢量 R=OR，其在三个坐标轴上的分量为其可以用其在三个坐标轴的截距 OA、OB、OC 表示，记做 R1、R 2、R 3，则：R = R1 + R2 + R3 =R1 i + R2 j +Rr3 k其中，i、j、k 分别是三个坐标轴方向的基矢量，其矩阵形式为：，xyzijk或123xyzRRRijijkijk设矢量 R 的长度为 R，R 与三个坐标轴的夹角分别为 1， 1， 1，则矢量 R 在三个坐标轴上的投影（三个坐标分量，实际上也就是 R 点的坐标）分别为：R1 = Rx = Rcos 1，R 2
5、= Ry = Rcos 1，R 3 = Rz = Rcos 1将矢量 R 表示为矩阵形式： 12 123 3cosaijkijkijkijk 压电有关理论和公式3 / 23其中，a 1 = cos 1，a 2 = cos 1，a 3 = cos 1，为矢量 R 与坐标轴夹角的余弦。1.5.3 二维平面旋转坐标系二维平面的直角坐标系 O-xyz 绕 z 轴旋转角度 之后，平面上 P 点在新旧坐标系中的左边满足：cosinixyy22矩阵形式为： cosscosini ()2xxxyyy上式中的各个角度分别代表新坐标的 x，y轴与原坐标的 x，y 轴的夹角。设 1， 1 分别为新坐标系中 x坐标轴
6、基矢 i 与原坐标系中 x，y 坐标轴的夹角， 2， 2 分别为新坐标系中 y基矢与原坐标系 x，y 轴夹角，则有： 1122cosscos()y 令： 1 12csa12 2scoa1112oA有： 12axxyyA其中，矩阵 A 可以看做是一个新旧坐标之间的变换矩阵。空间中的一个点 P 在新坐标系中的坐标可以通过该变换矩阵与原坐标中的坐标计算得出。1.5.4 二维平面旋转坐标系新坐标在原坐标系中的表示对于二维平面中的笛卡尔坐标系 O-xy，经过坐标旋转后，变成新的坐标系 O-xy，根据上面的二维平面中的矢量坐标变换参数定义，x轴、y轴的基矢量 、 在原坐标系中坐标为：ij111222cos
7、incossijjaj i压电有关理论和公式4 / 23从原坐标到新坐标的坐标变换矩阵即可看做由以上基矢量的行矩阵组成。 12axxyyA由于原坐标和新坐标是对称的，就是说，哪一个坐标都可以看做是原坐标。如果我们认为坐标系 O-xy为原坐标系， O-xy 为新坐标系，经过坐标旋转后，上式可以转化为12axyB由于两个向量夹角与向量标注的前后顺序无关， （1，2）与（2，1）的夹角实际上是一个，因此，相应的系数也是一样的， 。于是，上式可以变为：ijjia12 12 axxxyyy B可以看出，矩阵 A 与 B 互为转置矩阵。以上的结论可以推广到三维坐标变换。如果考虑左侧的列向量为新坐标系的基矢
8、量 ，其在新坐标系中可以表示为i1 0xijijy在原坐标系中的坐标为 12 12 1 20aaaxxyy B1.5.5 新坐标在原坐标系中的表示压电有关理论和公式5 / 23对于坐标变换 A，设变换后的坐标系为 O-xyz，在新坐标系中的基矢为 。ijk设 1， 1， 1 分别为新坐标系中 x坐标轴基矢 i 与原坐标系中 x，y，z 坐标轴的夹角， 2， 2， 2 分别为新坐标系中 y基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角， 3， 3， 3 分别为新坐标系中 z基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角；a11，a 12，a 13 为新坐标系中 x基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角的方向余弦；a
9、21，a 22，a 23 为新坐标系中 y基矢与原坐标系 x，y ，z 轴夹角的方向余弦；a 31，a 32，a 33 为新坐标系中 z基矢与原坐标系x，y，z 轴夹角的方向余弦；即： 1123cosa2123cosa3132cosa， ，123ijk213jijk312 aijk则坐标系 o-xyz坐标基矢量为： 12133 aijkijkijkT1.6 变换矩阵1.6.1 向量变换矩阵对于向量 R，设其在新坐标系 o-xyz中的表示为： 123RijkRijk由于在坐标变换过程中，向量本身并没有发生变化，只是参照坐标系发生了旋转，则有： 1 12 23 3 RRijkijkijkijkR将
10、新坐标系在原坐标系中的表示代入，有： 12313 aijkRijkijkR设变换矩阵为 A，对于上述变换有： R = AR，可见，12313aT所以有：R = AR T-1R，即得 A = T-1。我们可以证明，T 为一个正交矩阵，则变换矩阵为 A：121313aA同理，如果我们知道了坐标变换矩阵，也可以反向表示成新坐标系基矢在原坐标中的表示。压电有关理论和公式6 / 231.6.2 不同切型的向量变换矩阵不同切型的晶片可以按绕 x、y、z 轴旋转不同的角度达到，用 IRE 切型切型符号法( YXwlt) 表示，包括一组字母和角度；前两个字母为 xyz 坐标的两个，依次代表旋转前晶片的 厚度和
11、长度方向，比如，yz 切型表示晶片厚度为 y 方向，长度为 z 方向；其他字母表示晶片旋转的棱边方向，分别为t，l，w ，代表旋转轴为厚度、长度和宽度方向；再后面是旋转的角度。例如， （yzw）-50表示晶片原始厚度，长度分别平行 y、z 轴，晶片沿宽度轴（x）逆时针旋转-50，即顺时针旋转 50。可以通过坐标变换矩阵确定该切型在晶体中的方向余弦。根据晶体点群不同，确定晶体原始坐标系原始坐标为 o-xyz，晶体绕 x 轴旋转 角后形成的新坐标系为 O-xyz， （旋转切型形成的是切割刀具的坐标系 4p89-92 ） ，根据上面的坐标变换法则，有，121331223 2 aRRA此处，将变换矩阵
12、记作 Cx，有12131112223333coscoscos0scos10()cosin22icos()cosxxxxxa 同理，有 0in1sincosyy yyyCcosin0i01zzzC对于两次旋转，比如先绕 x 后绕 y 旋转，则变换矩阵 C 为：yA坐标变换公式为： 112233RC压电有关理论和公式7 / 231.6.3 二阶张量变换矩阵考虑空间矢量 R，r，有关系 R = Kr，K 为联系两个一阶张量的二阶张量。如，电位移矢量 D 与电场强度 E 的关系：D=E在新坐标系中的关系为：R Kr对于上述坐标变换 A，有：R = AR，r = Ar变换矩阵 A 为正交矩阵，其逆矩阵等
13、于其转置矩阵 At，A-1= At将向量之间的关系代入，有：R = AR = AKr = AKA-1r = Kr则有： K = AKA-1=AKAt这就是二阶张量在坐标变换关系。1.6.4 二阶张量缩写下标形式的矩阵在旋转坐标下的变换下面以应力为例研究二阶张量缩写下标形式的矩阵在旋转坐标下的变换。根据二阶张量的坐标变换关系： K =AKAt可以得到应力张量的变换关系为： T=ATAt设二阶应力张量的缩写坐标形式的变换矩阵为 M222111312313122332 32132323311212111()()()aaaaaMaaa2 12aa 则有： T =MT同理，对于二阶应变张量 S 有变换关系： S=ASAt设二阶应力张量的缩写坐标形式的变换矩阵为 N222111312313122332 321232323311212111()()()aaaaaNaaa2 12aa 则有： S=NS1.7 常用的常数的坐标变换1.7.1 弹性常数矩阵的坐标变换形式原坐标系中的胡克定律： S=sT T=cS新坐标系中的胡克定律： S=sT T=cS将变换公式 T=MT 与 S=NS 代入，有：S
