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1、第七章 二维信号处理的一般方法1第七章 二维信号处理的一般方法1 引言实践中不少信号是二维的，图象信号是一个典型的例子。早期的图象处理技术采用的是信号处理的方法，其中不少技术至今仍广泛地应用着。但是后来人们发现信号处理所得到的一个好的图片，并不一定能让人看着舒服。这是因为人的视觉对图象的感受和信号处理中所采用的质量指标并不协调。20 世纪 80 年代，图象处理技术从采用信号处理的方法转向了采用人工智能、模式识别的方法，形成了一个新的技术领域计算机视觉。然而本章仍只讨论二维信号的信号处理方法。这固然是因为由此而建立起来的许多技术还被广泛地应用着，另外也因为它是计算机视觉的研究基础。二维信号可以通
2、过扫描变成一维信号电视信号就是一个典型例子这种信号的处理，本质上仍是一维的，这里不再作讨论。我们只讨论直接对二维信号进行处理的方法，它们是从一维的方法中推广过来的，但并不是所有的一维处理技术都能推广到二维中来。这一点将在以后的讨论中予以说明。本章讨论的内容是把一维信号处理中的时域和频域技术推广到二维中来。本节则先把各种术语和变换推广过来。无论是二维信号还是二维线性定常的系统，在时域里都表示成为一个二维序列 f(, )。因此我们从介绍基本的二维序列开始我们的讨论。1n21. 单位样本序列定义为：(7.1)0n 10)n,(2121其 余即仅在（0，0）点取 1 值而在其它点均为零的序列。此序列作
3、用到线性定常系统后的输出，即称为该系统的脉冲响应 h( , )。这里的定常性是指无论冲激作用到哪12一点（比如( , )点） ，所得到的输出都是同形状的，只不过中心点的位置不同1m2（由( , )给定）罢了，即当输入为 时，输出为：)mn,(2的系统称为定常的。 （附带说明一句：本教材一直采用“定常”这nh1一术语，读者应明确：对一维连续系统它指的是 time invariant（时不变） ，对一维离散系统它指的是 Shift invariant（移不变） ，对二维系统指的是 Space invariant（空间不变）这因为对图象来说( , )表示了空间点的位置） 。122. 单位阶跃序列定义
4、为：(7.2)0n 10)n,(u2121其 余其中符号 表示二集合的交集。即同时满足 和 的( , )点处 u( , )121n21n2=1，其余各点处 u( , )=0。显然它和单位样本序列的关系为：12u( , )= (7.3)n02112 ),(l ln第七章 二维信号处理的一般方法2若取变量置换：令 则又可表示为：2211,lnmlu( , )= (7.4)n212n),(3. 二维（实）指数序列定义为：f( , )= (7.5)120n a 021n21其 余二维复指数序列定义为：f( , )= (7.6)1n2)n(j21e21,一个二维系统的输入序列 x( , )可以分解成偏移
5、单位样本序列 )mn,(21的加权和，加权系数为 n1m1=0,n2m2=0 处的 x 值 x(m1,m2)。即：x( , )=12 12 mn,(),(x而对定常系统来说，输入 时，输出为 。从而对,21 )n,(h21线性定常系统来说，由于叠加原理成立，所以输入 x( , )时，输出 y( , )将为：121y( , )= (7.7)1n2 12m2121)n,(h),(x仍表示成：y( , )=x( , ) h( , )n这就是线性定常系统的卷积表示式。可以分解成两个一维序列相乘的二维序列称为可分序列：f(n 1,n2)=f(n1)f(n2).n10 使 H( , )在域 上绝对收敛。即
6、 12 z21H( , )在 上绝对收敛，从而系统稳定。1z2必要性：系统要稳定就必须满足 1b另外，为使 =0 须： = ，而由条件（2）它不应该在 1 上，从而须 1 。2z1aza从而得到上述系统要稳定时，参数必须满足以下条件：b3.Asell 判据对 H( , )= 引入双线性变换作变量置换1z2)z,(BA21, 1p2z1p则得：H( , )=12)p,(FE21系统稳定的充要条件是同时满足：（1）F(j , )在 = + j2的正实轴上无零点，即：12F(j1, ) 0 对所有的 0 (7.20a)2（2）F( ,1)在 = +j 的正实轴上无零点，即：p1第七章 二维信号处理的
7、一般方法8F( ,1) 0 对所有的 0 (7.20b)11此判据也不再予以证明。3 二维 IIR 滤波器的设计虽然 IIR 滤波器可在较低的阶次下得到较好的特性，但它的设计是困难的。这里的主要问题是不能确保设计出的系统是稳定的。早期虽有一些学者提出了一些设计方法，但效果都不甚好。直到 1978 年两位埃及学者阿里（Aly）和法米（Fahmy）把Deczkey 的最小 P 误差设计法推广到了二维，才算有了比较令人满意的设计方法。本节也仅介绍他们给出的方法。这种方法是在能分解成二阶以下的子环节串联形式的系统函数中找出 P 误差最小的优化逼近结果。由于各子环节稳定则系统就稳定，所以设计过程中只要保
8、证各二阶以下的子环节稳定就够了，而这又是能做得到的。所以这种设计既保证了设计结果稳定又是在一定范围内（能分解成二阶子环节串联形式的系统）P 误差最小的。K 个不高于二阶子环节串联系统的系统函数为：H =A (7.21)z,(21K1kI0jij2i1jkJjijij2k21zd b 其中 A 为系统的增益，各 = =1。它的频率响应为：bH( , )= (7.22)1je2j )e,(21jj),(j21群延迟为：=- i=1,2 (7.23),(21ii21,设计的任务就是要求出一组参数(7.24)A),K,1k)J,0j),J,0ib( IIdX2k1jk 使 P 误差F(X)= + +
9、(7.25)(Fm)X(1)(F2最小。其中： = ( - )(M1Nn),W)n,mH,(dp为以 为权系数的幅频响应 与理想值 的 P 误差。m, n,= ( - ) i=1,2)X(FiM1Nni),)n,i,(idp第七章 二维信号处理的一般方法9为以 为权系数的群延迟 和理想值 的 P 误差。iWiid、 、 分别为幅频误差和群延迟误差在总误差中占有的权。m12显然，这是和一维 IIR 滤波器的最小 P 误差设计法类似的一个逼近问题。仍采用Flecher-powell 给出的优化技术和程序就可解出能保证 P 误差最小的参数集合(A, )。但是这么做出的结果不能保证稳定。为了保证设计结
10、果稳定，阿里和法米ijkbijd采用如下做法：原系统函数 H 中每个不高于二阶的子环节的分母多项式均可表示为：)z,(21= ,),z(Q210Ljijije各系数 均可用另一组非零的实数集合 来表示，具体说就是：对 = =1 的情ije liq1L2况表成：(7.26)1eq)k(2)(30)()k(1对 =2、 =1 或 =1、 =2 的情况表示成：1L2L2(7.27) 1eq e )qq()k(22)k()(4)(0)(3k2)k(65)1 2k(43)k(5)10对 = =2 的情况，表示成：1L 1eq qe )qq()q( )q(e)k(22)k()(5)(0)(4)(3k21
11、2)k(9)(82k76) 2k(54)k(72)k(912(536)(8010)k2 )(8)(93)(0k(6)4)k(73)k(1 28965)0第七章 二维信号处理的一般方法10(7.28)显然，当各 求到时，相应的第 k 个子环节分母多项式的系数 也就完lkq )k(ije全可求到了。这么做的目的是：如果各系数满足上述关系，则对 Q 取z,21(7.29)11pz12pz的双线性变换后得到的 Q(p1,p2)在域 上无零点即：1Q 0 ),(21从而由 Shank 判据，经双线性变换后的二阶子环节是稳定的，从而由它们串联而成的系统也是稳定的。此系统的系统函数可由式（7.29）代入（7
12、.21）得到为：H =B)p,(21 K1k kI0ji j12i1j12kIJji j12i1jJ211211 pe)p()( c再以 代入，注意到：ijiep2jtgp1je)cos()(jjep得该系统的频率响应为：H(m,n)=B U(m,n) (7.31)K1k)n,m(H其中U(m,n)=2cos( m/2) 2cos( n/2) 11v22v2/)nvm(j1e这里： )IJ(vK1kk)I(1kk22第七章 二维信号处理的一般方法11k21k21I0ji j2i1jJji jijk )/n(jtg)/m(tge/jt/tc)n,m(H而 又是以 来表示的，从而问题变成为求一组参
13、数：ijkelkq(7.33)B),K,21k),J,10j),J,0ic( K2k1X2jkl 使由式（7.25）给出的 P 误差最小，为此取 P 误差 F(X)对参数集合 X 中的各元的偏导数，再令它等于零，得一个微分方程组。用 Flecher-powell 程序解此方程组即可求到使 P 误差最小的参数集合 X。由于这时的参数是以 的形式给出的，把它们按式lkq（7.26） 、 （7.27） 、 （7.28）给出的关系组合成 ，则得式（7.30）所给出的系统函ije数。由前所述，此二维系统肯定是稳定的。这样就设计出了既稳定又 P 误差最小的二维 IIR 系统。4 二维 FIR 滤波器的设计
14、由于 FIR 系统永是稳定的，且又可用 FFT 作快速实现，所以在二维信号处理中FIR 系统远比 IIR 系统用得多。一般情况下二维 FIR 滤波器可用窗口法进行设计，要求很高时则可用对一维最小最大误差的设计结果作变换来得到二维的最小最大误差的FIR 滤波器。本节介绍这两种设计方法的具体做法。先讨论窗口法。如果给定了所要求的二维滤波器的频率响应 ( , )，则对它取二维反傅dH1je2j立叶变换就可得到它所对应的脉冲响应：= (7.34)n,(h21d21)n(jjjd)e,(H42121但一般 是无限域的，为了得到一个有限域的脉冲响应，仍取一个二维窗口：,(7.35)Nn0n0 )n,(W2121 其 余用它截取 ，即得到 FIR 滤波器的脉冲响应：),(h21d= (7.36)n),(w21)n,(h21d显然，系统质量的好坏直接取决于窗口的质量。黄绪涛建议用一维的窗口来构造两维的窗口函数。具体又有两种做法：1.平方矩形窗口此时是用长各为 和 的两个一维窗口（海明窗或凯色窗等等
