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1、1球体间万有引力计算的探究南京市第 12 中学 杨伟高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比。 ”这种表达是很不严密的。因为距离应该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。对此人教版普通高中课程标准实验教科书物理必修 2 P70 上有这么一段说明：“两个物体间的距离”到底是指物体哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。如果是地球，月球等球体，牛顿应用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。 ”（其中加下划线
2、的三个“间”是本人加上去的）牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。我想做一件被大家忽略的事或许会有点意思。于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。 ”方法一：微积分方法。这种方法比较复杂，为了简化，我用命题 1 和命题 2 做铺垫。命题 1。 质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。设环质量为 m1 ,质点质量为 m2 ,环半径为 r ,环中心到质点的距离为 x ,把环分成许多小段,任取一小段可视为质点,其质量为 dm ,它对质点的引力为 dF ,再把其分解为沿轴和垂直于轴的两
3、个分量 dF1 和 dF2 ,由于质量分布均匀 ,由对称性可知环上所有 dm 对质点引力的 dF2 分量的矢量和为零,所以环对质点的引力为:F= ,1m而 dF1=dFcos= .2121 2132cosGGmGmxdxrxrrr所以.1213Fmdrx命题 2: 质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力.设圆面质量为 M1 ,质点质量为 m2 ,圆面半径为 R,圆心到质点的距离为 x , 在圆面内任取一半径为 r宽为 dr 的同心圆环,则由命题 1 得此圆环对质点 m2 的引力为2122 123 3r rFMGdmxGMxdRdR则 123002212302212122012122
4、RRRxrddGMmxdxrrxGMmRxR正题: 质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力. 设球的质量为 M,质点的质量为 m, 球心到质点的距离为 L,球半径为 r.为了计算球对质点的引力 ,可以在球中截取一半径为 R 厚度为 dx 并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片,设此圆片的中心到质点 m 的距离为 x. 则由命题 2 可得该圆片对质点的引力为: 23121322 13221322132412LrLrMGRdxmrxdFRxdrRLGMmxdFdLxGmdxdLxrrL3为了计算所以 322().rMmGL3GMm F=2r这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可
5、以把其看成质量都集中在球心的质点。方法二：类比法，为了数学形式的对称，我引入了万有引力场强度和万有引力通量着两个概念，不知是否恰当，请专家指点。 2 211.44QqMmFr r 引电库 仑 定 律 ： 万 有 引 力 定 律 :F1)4G（ 令122Lrxd211222112221223122211221223rabxxddabrLabxxaddabbabxxCarLxrLxr令 ，则还 原 1222323. LrL rdrx 4电场强度： 。 万有引力场强度：。FEq电电 FEm引引电通量： 万有引力通量： .ds电 ds引高斯定律： （q 为闭合面内的总电量）EsA电应用高斯定律，计算均
6、匀带电球体在其外任一点 p 的电场强度。设球半径为 R,带电量为 Q,球心到 p 点的距离为 r.过 p 点作与带电球同心的球面 S,因为电荷分布均匀由对称性可知 S 面上各点的场强大小相等设为 E，方向沿径向，通过 S 的电通量为： 24sdrA电由高斯定律得： 22244QErr电 即 E= 其 中 为 径 向 单 位 矢 量 。 由于数学表达式完全对称，因此，同理可得，质量分布均匀的球体在其外任一点的万有引力场强度为 ： 。 24MEr引M 为球的质量, r 为球心到所取点的距离 .因为 14G所以。2Er引又因为质点的引入不会影响球体的质量分布，故在所取点上放入一质量为 m 的质点时，球对该质点的万有引力为：2.MmFEGr引引（其中的 为沿球心和质点的连线向内的单位矢量） 。r这也证明了：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。5参考：1、高中物理教材。2、清华大学教材大学物理学第三册电磁学 张三慧主编3、 电磁学 梁灿彬 秦光戎 梁竹健编
