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1、1第三章 线性方程组练习题一、 填空题1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为 ，则增广矩阵的秩取值可能为_.r2. 非齐次线性方程组 有解的充要条件是_.12nxxab 3. 齐次线性方程组 的基础解系是_.123404. 若矩阵 中有一个 级子式不为零，则 _.Ar()RA5. 已知向量组 线性相关，则参数 _.123(,)(,12,1kk6. 齐次线性方程组 （*）只有零解的充要条件有 12221 0nnnaxax _ _（至少写两个）.7.非齐次线性方程组 （ 为 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是AZbm_。8. 个 维向量，组成的向量组为线性 _ 向量组。1n9.设向量组 线性无关，
2、则常数 满足_时，向量组32,l线性无关。3112ml10.设 阶矩阵 的各行元素之和均为零，且 则 的通解为_。nA()1rAn0x11.若向量组 线性无关，则向量组 _。321,3232,12.已知四元非齐次线性方程组 ， 是它的三个解向量，其中,()Axbr1，则齐次线性方程组 的通解为_-TT1,0(,)0,(3221 0Ax_。13.设向量组 由向量组 的线性表示式为 ，则向量组321,321,32132由向量组 的线性表示式为_。321,321,14.线性方程组 无解，且 则bAX,)(Ar)(br._215 当 时， 的秩为_,baA48132ba.2二、 判断题1. 向量组 线
3、性相关且 ，则 不全为零.（ ）12,n 120nkk 12,nk2. 如果 线性相关，则向量组(),iiias 12(,)iiiiimab 也线性相关. （ ）,s3. 任意 个 维向量必线性相关. ( )3n4. 若向量 和向量组 都线性无关，则向量组 线性无12,s 12,t 1212,st 关. （ ）5. 若向量 线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（ ）12,s6. 非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ ）7. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.（ ）8. 设 线性相关， 也线性相关，则 线性相关.（ ）12,12,12,三、单项选择题 1.
4、已知向量组 线性相关，则下列命题中成立的是（ ） 。12,nA. 中至少含有一个零向量；B.对任意一组不全为零的常数 ，有 ；12,nk 120nkkC. 中任意一个向量均可由其余 个向量线性表示；12,n mD.秩（ ） 。 m2方程组 有非零解，则 的取值为( )。021xA.0 B. 1 C. 2 D. 任意实数3下列向量组中是线性无关向量组的为（ ） 。A.(1, 2), (-3, 0), (5, 1)B. (1, 1, 0), (0, 0, 3), (2, 2, 0)C.(2, 6, 0), (3, 9, 0), (0, 0, 2)D. (1, 1, 0), (0, 2, 0), (
5、0, 0, 3)4.齐次线性方程组为 ，它的一个基础解系是（ ） 。0312x3A. B. C. D. 01,210,41105 ，方程组 无解，则当 的取值为 （ ） 。)(3)2(13kxk kA. 2 B. 3 C. 4 D. 56设向量组 中是齐次线性方程组 的一个基础解系，则下列向量组中也是13,0Ax的一个基础解系的是（ ） 。0AxA. B. 1231,123123,C. D. 127. 为 矩阵，秩( A) = ，下列结论正确的是（ ） 。AmnmnA.齐次线性方程组 只有零解 B. 非齐次线性方程组 有无穷多解 C) 0x AxbC. 中任一个 阶子式均不等于零 D. A 中
6、任意 个列向量必线性无关。m8. 是齐次线性方程组 的一个基础解系，则也是该方程组的一个基础解系的123,是（ ） 。A. 可由 线性表示的向量组；123,B. 与 等秩的向量组 C. 12123,D. 319. 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是齐次线性方程组 的一个非零12,Axb0AX解，则（ ） 。A.向量组 线性无关12,B. 向量组 线性相关C. 的通解为 ，其中 为任意数Axb1kD. 的通解为 ,其中 为任意数2()st,st10. 为 矩阵，秩 ( ) = ，则下列结论中正确的是（ ） 。mnAr4A. 时， 有唯一解；rnAxbB. 时， 有唯一解 ；mC. 时， 有无
7、穷多解；rxD. 时， 有解nAb11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0，则_。A）方程组有无穷多解 B) 方程组无解C) 方程组有唯一解或无穷多解 D) 方程组可能无解，也可能有无穷多解三、计算与证明1. 求向量组 1234(,0),(,17),(,10),(,31)的秩和一个极大线性无关组，并把其余的向量用极大线性无关组表出.2 取何值时，线性方程组123x有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.3. 已知向量组 线性无关，令12,m，131 1,mm讨论向量组 的线性相关性.12,m4. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 是它的三个解向量，且123,.求该方程组的通解.123(,45),(,4)5. 设向量 线性无关，且 ，证明： 也n 12()n 12,n线性无关.6. 设齐次线性方程组 （*）的系数行列式 ，而 中元素 的代数1212120nnnaxax 0Dija余子式 .证明：（*）的通解为 .0ijA12(,)iinkAkP7设有向量 ，问 为何值时，2123(,)(,),(0,)ttttta) 可由 线性表示，且表达式唯一；35b) 可由 线性表示，且表达式不唯一；123,不可由 线性表示。123,82 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？并求出一般解.0)3(14228)(2xx
