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1、线性相关与回归,(linear correlation and regression),线性相关 线性回归 两者比较,概念 相关系数(correlation coefficient) 定义 计算 特点 假设检验 注意事项,back,简单相关 研究两个连续性随机变量x与y之间的线性关系 线性关系是否存在、关系的密切程度以及方向性,back,积差相关系数 用（总体）或r（样本）表示 用来对线性关系的密切程度与方向进行统计描述的指标,back,back,无单位 取值-1，1 越接近于1，线性关系越密切 越接近于0，线性关系越不明显 方向性 若为正值，则正相关 若为负值，则负相关,back,检验目的
2、判断总体相关系数是否为0 检验步骤 建立假设 H0： =0 计算统计量 t 检验 查表法 确定P值（ t界值表与r界值表) 作出结论,back,要求x与y为双正态随机变量 相关关系因果关系 观察例数较少时，相关系数不够稳定 伪相关现象 相关分析要有实际意义 秩相关 相关系数的区间估计,back,概念 直线回归方程 决定系数 应用 注意事项,back,简单回归 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化依存关系 要求y是服从正态分布的随机变量，而对x无太严格要求 主要任务找出合适的直线回归方程，以确定一条最接近于各实测点的直线，描述两个变量之间的线性回归关系。,back,相当于y的计算值，与y的实测
3、值不完全相同 两个参数与对应的统计量 与 a与b a ：截距（intercept） 即直线与y轴交点的坐标 b ：斜率（slope） “回归系数”,表示x每改变一个单位， y平均改变b个单位,回归系数 数值与方向 最小二乘原则 保证各实测点至回归直线的纵向距离平方和最小 a与b的求解,Y的离均差平方和分解 任意一点实测值y的纵坐标直线被回归线 与过均数 的水平线截成三个线段。,回归系数的统计推断,SS总=SS回+SS残 SS总: 未考虑x与y的回归关系时，y的总变异。 SS回:反映在y的总变异中，因x与y的直线关系而使 y变异减小的部分；即在总平方和中可用x解 释的部分。 SS残:“剩余平方和
4、”，反映x与y的直线关系之外 的所有因素对y的变异作用；即在总平方和 中无法用x解释的部分。,H0：总体回归系数是否为0 F检验（ANOVA） t检验,back,定义：为相关系数的平方 实质为回归平方和与总平方和之比 作用：反映当前回归模型拟合效果的概括统计量 计算： 特点： 取值0，1，无单位； 反映回归贡献的大小，即在Y的总变异中能用回归关系解释的百分比或比重。,back,描述 通过计算求得回归方程并经过回归系数的假设检验，若接受两变量存在直线回归关系，则可用该方程进行描述两者间的数量依存关系。 预测 把预报因子（ x）代入回归方程，对预报量（y）进行估计，其波动范围按个体y值的容许区间计
5、算。 控制 利用回归方程进行逆估计，若要求y在一定范围内波动，可通过x的取值来实现。,back,回归要有实际意义； 进行分析前，应绘制散点图，当观察点的分布有直线趋势时，才适宜作线性回归；同时，散点图还能提示有无异常点，有助于修正数据； 直线回归方程的适用范围一般以自变量的取值范围为限，应避免不合理的外延。 的置信区间 总体均数y及个体值y的区间估计,back,线性回归 线性相关 资料要求 y服从正态分布 x与y均服从正态分布 应用目的 数量依存关系 相关程度与方向 系 数 -，+ -1，1 有单位 无单位 方向一致 对同一样本， b与r的正负号一致 假设检验等价 对同一样本， b与r的t检验
6、相等 用回归解释相关 决定系数,区 别,联 系,测得某地15名正常成年人的血药X和24小时的尿药Y。试分析X和Y之间是否存在线性相关。,r = 0.9787,tr = 17.189 df=13,back,针对上例，请做线性回归分析。,a = 0.0319 b = 0.8973,F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189,R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )2 = r2,back,适用条件 凡不适合用pearson线性相关分析的研究 分析步骤 先将n对实测值x与y分别升序编秩，为pi与qi 以秩次计算 对做假设检验 与r的t检验相同,适用条件 当r的假设检验有统计学意义时 分析步骤 将r进行变换（双曲正切） 求出转换后z的(1-)置信区间 还原为总体相关系数的置信区间（反双曲正切）,取某个特定xp时，总体均数y的区间估计 取某个特定xp时，个体值y的区间估计 后者置信带的曲线比前者距离回归直线更远,
