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1、江苏省苏州市五校2020届高三数学上学期12月月考试题(含解析)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上)1.已知,则_.【答案】【解析】【分析】根据两个集合直接求交集.【详解】由已知可知.故答案为:【点睛】本题考查集合的交集,属于简单题型.2.若复数(为虚数),则复数的模_.【答案】【解析】【分析】首先求复数,再化简求模.【详解】,.故答案为:【点睛】本题考查复数的化简和求模,意在考查转化和化简计算,属于基础题型.3.某市有中外合资企业160家,私营企业320家,国有企业240家,其他性质的企业80家,为了了解企业的管理情况,现用分层抽样的方法从这8
2、00家企业中抽取一个容量为的样本,已知从国有企业中抽取了12家,那么_.【答案】40【解析】【分析】由题意可知,计算结果.【详解】由题意可知,解得:.故答案为:40【点睛】本题考查分层抽样,意在考查基本公式和基本计算能力,属于简单题型.4.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据具体函数的形式,直接求定义域.【详解】由题意可知 解得:,函数的定义域是.故答案为:【点睛】本题考查具体函数的定义域,属于简单题型.5.如图所示的流程图的运行结果是_【答案】20【解析】试题分析:第一次循环:,第二次循环:,结束循环,输出考点:循环结构流程图6.高三(5)班演讲兴趣小组有女生3人,男生2人,现从中
3、任选2 名学生去参加校演讲比赛,则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是_.【答案】【解析】【分析】首先求任选2人的方法种数,然后求满足条件的方法,最后用古典概型求概率.【详解】从5人中任选2名学生参加演讲比赛有种方法,其中恰好为1名男生和1名女生的方法有种方法,则恰好为1名男生和1名女生的概率.故答案为:【点睛】本题考查组合数和古典概型的计算方法,意在考查基本公式和计算能力,属于基础题型.7.在平面直角坐标系中,直线为双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由已知可知,再表示.【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程是 若直线是双曲线的一条渐近线,则 ,即,离心率.
4、故答案为:【点睛】本题考查双曲线基本性质,属于简单题型,一般求双曲线离心率的方法是1.直接法:直接求出,然后利用公式求解;2.公式法:,3.构造法:根据条件,可构造出的齐次方程,通过等式两边同时除以,进而得到关于的方程.8.已知,则的值为_.【答案】【解析】【分析】首先根据角的范围求,然后化简为,代入求值.【详解】, 又 , =.故答案为:【点睛】本题考查三角恒等变换,意在考查转化与化归和计算能力,属于中档题型.9.设公比不为1的等比数列满足,且,成等差数列,则数列的前4项和为_.【答案】【解析】【分析】由已知可知,且,求首项和公差,再求.【详解】由等比数列的性质可知 ,成等差数列, ,解得:
5、(舍)或, ,.故答案为:【点睛】本题考查等比数列基本量的求法,意在考查基本公式,属于基础题型.10.曲线在点处的切线与直线互相垂直,则实数的值为_.【答案】-4【解析】【分析】首先求,由题意可知,求实数的值.【详解】 ,当时,由题意可知, ,解得:.故答案为:【点睛】本题考查导数的几何意义,属于简单题型,当求曲线在某点处的切线时,切线方程是.11.已知,且,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意变形为,再变形为,展开后利用基本不等式求最值.【详解】 当时等号成立,且 ,变形为 , , ,.故答案为:【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,意在考查转化与化归和计算能力,属于中档题型,本题
6、的关键是根据,对原式进行变形,然后再求最值.12.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且为等边三角形,则实数_【答案】【解析】试题分析:由于为等边三角形,故弦长,根据直线与圆相交,所得弦长公式为,可建立方程,即,解得.考点:直线与圆的位置关系,解三角形【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系,直线与圆相交所得弦长公式,考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形,故弦长,我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来,这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后,要验证圆心到直线的距离是否小于半径.13.已知平面向量,满足,的夹角等于,且,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先由数量积公式变形为,并且整
7、理为,变形为,利用三角函数的有界性,求得的取值范围.【详解】, ,的夹角等于, ,整理为:,解得:.故答案为:【点睛】本题考查数量积的运算公式的综合应用,意在考查转化与化简和计算能力,属于中档题型,当变形为时,化简为,利用三角函数的有界性求模的范围.14.关于的方程有3个不同的实数解,则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先方程变形为,将方程有3个不同的实数解转化为函数与有3个不同交点,利用数形结合求的取值范围.【详解】原式变形为,当函数与有3个不同交点时,如图,满足条件的直线夹在如图的两条直线之间,一条是过的直线,此时,此时与轴的交点是 ,另外一条是相切的直线,设切点,则,解得:,
8、则切点是,则,解得,此时与轴的交点是, .故答案为:【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围,一般可采用1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解,此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍.二、解答题:(本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,角为钝角, (1)求的值; (2)求边的长.【答案】(1) (2
9、)【解析】【分析】(1)由,分别求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出【详解】(1)因为角 为钝角, ,所以 ,又 ,所以 ,且 ,所以 .(2)因为 ,且 ,所以 ,又 ,则 ,所以 .16.如图所示,在三棱柱中,为正方形,是菱形,平面平面(1)求证:平面;(2)求证:.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)要证明线面平行,需先证明线线平行,结合题意易证明;(2)要证明线线平行,需先证明线面平行,即证明平面.【详解】(1)是菱形,平面,平面,平面.(2)连接,四边形是菱形,平面平面,且平面平面,平面,且平面,且,平面,又平面,.【点睛】本题考查线面平行和线
10、线垂直的证明,意在考查空间想象能力和推理证明,属于基础题型.17.已知椭圆:的离心率为,且过点右焦点为(1)求椭圆方程;(2)设过右焦点为的直线与椭圆交于,两点,且,求直线的方程【答案】(1);(2)或【解析】【分析】(1)由题意可知,再将点代入椭圆方程,结合可得椭圆方程;(2)设直线的方程为:,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,代入向量的坐标表示可得,建立关于的方程,求得直线的方程.【详解】(1)解:因为,所以,设椭圆的方程为将点的坐标代入得:,所以,椭圆的方程为(2)因为右焦点为,设直线的方程为:,代入椭圆中并化简得:,设,因为,所以,即,所以,即,解得,所以,所以直线的方程为:或【点睛
11、】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题,主要考查转化与化归和计算能力,第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具.18.如图,两座建筑物,的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是和,从建筑物的顶部看建筑物的视角(1)求的长度;(2)在线段上取一点(点与点,不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为,问点在何处时,最小?【答案】(1);(2)为时,取得最小值【解析】【分析】(1)由题意可知是等边三角形,根据条件直接求的长度;(2)由(1)设,则,分别求和,然后再表示,设,利用导数求函数的最小值和点的位
12、置.【详解】(1)如图,作,垂足为,则,设,由条件可知是等边三角形, .答:的长度为(2)设,则,.设,令,因为,得,当时,是减函数;当时,是增函数,所以,当时,取得最小值,即取得最小值,因为恒成立,所以,所以,因为在上是增函数,所以当时,取得最小值答:当为时,取得最小值【点睛】本题考查三角函数和导数解决实际问题的综合问题,意在考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题型.19.已知数列、满足:,.(1)证明:是等差数列,并求数列的通项公式;(2)设,求实数何值时恒成立【答案】(1)见解析,;(2)【解析】【分析】(1)由已知变形为,再构造,从而证明数列是等差数列,并求通项公式;(2)由(1)可
13、知,再写出,利用裂项相消法求和,恒成立整理为恒成立,分,和三种情况讨论时恒成立求的取值范围.【详解】(1), 数列是以-4为首项,-1为公差的等差数列,(2),由条件可知恒成立即可满足条件,设,当时,恒成立,当时,由二次函数的性质知不可能成立当时,对称轴,在为单调递减函数 ,时恒成立综上知:时,恒成立【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式,裂项相消法求和,以及数列和函数结合的综合性问题,意在考查转化与化归,讨论的思想和计算能力,属于中高档习题.20.已知函数(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;(2)当时,求证:;(3)设函数,其中为实常数,试讨论函数的零点个数,并证明你的结论【答案】(1)或;(2)见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)根据导数的意义可知,解得切点;(2)将所证明不等式转化为证明恒成立,设,利用导数证明;(3)等价于,等价于,且,令,利用导数分析函数的性质,可知函数的极小值0,极大值,讨论当,时,结合零点存在性定理确定零点的个数.【详解】(1)所以过点的切线方程为,所以,解得或(2)证明:即证,因为,所以即证,设,则令,解得4-0+减极小增所以 当时,取得最小值所以当时,(3)解:等价于,等价于,且令,则令,得或,1-0+0-减极小0增极大减()当时,所以无零点,即定义域内无零点()当即时,若,因为,所以在只有一个零点,而当时,