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1、- 1 -顺义区 2013 届高三第二次统练数学试卷（文史类）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）4 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）s1已知集合 ，则 （ ）32,13AxRBxRx或 ABA (3,B (1)C ,2)D (,2)3,)2复数 （ ）1iA 5iB 52iC 152iD 152i3从 中随机选取一个数 ，从 中随机选取一个数 ，则关于 的方程,4a,3bx有两个不相等的实根的概率是（ ）220xabA 15B 25C 5D 45A 0B 3C D 55.已知数列 中， ，等比数列 的公比 满
2、足 且 ，na45nnbq1(2)na12ba则（ ）12nbbL 1k结束开始 1,ks5?k2s输出 s否 是- 2 -二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.设 的内角 的对边分别为 ，且 ，则ABC, ,abc1os,534ABb的面积 .sin_S10.已知函数 ，若 ，则 的最大值为_.()10()xf()10f()fa11.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人 天加工的零件数，则甲组工人 天每人加工零件的平均1数为_；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了 的概率为_38甲组 乙组98197 212.一个几何体的三视图如图
3、所示，若该几何体的表面积为，则 .29m_hmA 14nB 41nC 143nD 413n6设变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是 （ ）,xy241xy3xyA 21,4B ,62C 2,64D 1,2647.已知正三角形 的边长为 ，点 是 边上的动点，点 是 边上的动点，且C1PABQAC,则 的最大值为（ ）,(),PQARurrurQurA 32B 32C 38D 388.设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，且坐标原点,mnR:10lmxnyxAyB到O直线 的距离为 ，则 面积的最小值为（ ）l3AOBA 12B 2C 3D 4俯视图h452正（主）视图 侧（左）视
4、图- 3 -FA BDPCH13.已知双曲线 的离心率为 ，顶点与椭圆21xyab263的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；285渐近线方程为_.14. 设函数 ，则满足 的 的取值范围是_.2log, ()xf()2fx三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分 13 分）已知函数 .(3cosin)s21)xxfx（）求 的值；(f（）求函数 的最小正周期及单调递减区间.)x16.（本小题满分 13 分）已知 为等差数列 的前 项和，且 .nSna51630,4Sa（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和公式.2na1
5、7.（本小题满分 14 分）如图，四棱柱 中， 是 上的PABCD./,ABCA平 面点且 为 中 边上的高.1,2DFH（）求证： 平面 ；/（）求证： ；（）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？PBEFPB说明理由.18.（本小题满分 13 分）- 4 -已知函数 ，其中 为正实数， 是 的一个极值点.2()1xefa12x()f（）求 的值；（）当 时，求函数 在 上的最小值.b()fx,)b19 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ， ， 为椭圆 的两个焦点，2:1(0)xyGab21F2G点 在椭圆 上，且 的周长为 。P12PF4（）求椭圆 的方程（）设直线 与椭圆 相交于
6、 、 两点，若 （ 为坐标原点） ，求证：直lABOAB线 与圆 相切.l283xy20 （本小题满分 13 分）已知函数 ， ，其中 为常数，()21xfae()ln1ln2gxaa，函数 的图象与坐标轴交点处的切线为 ，函数 的图.718eyf 1l()ygx象与直线 交点处的切线为 ，且 。y2l12/l（）若对任意的 ，不等式 成立，求实数 的取值范围.1,5x()xmfxm（）对于函数 和 公共定义域内的任意实数 。我们把 ()yf()yg 00()fxg的值称为两函数在 处的偏差。求证：函数 和 在其公共定义域的0 ()yf()yg所有偏差都大于 2.- 5 -顺义区 2013 届
7、高三第二次统练数学试卷（文史类）一、ABCA BCDC二、9 10 11 12 13 42105,691072,64(2,0)1530xy14 ,15解（）(3cosin)s13) 22f1(3)1221024 分（）由 cos0()xkZ、故 的定义域为()f ,2Rxk因为 3cosin)s1()2fxsi(si)2x- 6 -231sini2xcosi31sin2sxi()6所以 的最小正周期为()fx2T因为函数 的单调递减区间为 ，siny3,2()kkZ由 322,()6kxkx得 ,所以 的单调递减区间为()fx 2,()623kkkZ 13 分16解（）设等差数列 的公差为 ，
8、nad因为 51630,4S所以 12ad解得 ,.所以 1()2(1)2.nadn7 分（）由（）可知 ，令nnab则 ，4nb- 7 -EG FA BDPCH又14()nbN所以 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，n设数列 的前 项和为bnT则12312 4()443nnnT 13 分17 （ ）证明： ，且 平面 PCD， 平面 PCD，所以 平面 PDC/ABCDCD/AB2 分（）证明：因为 AB 平面 PAD，且 PH 平面 PAD ，所以 PH又 PH 为 中 AD 边上的高所以又 ADB所以 平面PC而 平面所以 .H7 分（）解：线段 上存在点 ，使 平面BEFAB理由
9、如下：如图，分别取 的中点 G、 PA、则 1/2G由 /DFB所以 /E所以 为平行四边形，故G/EFG因为 AB 平面 PAD，所以因此， FAB因为 为 的中点，且PD所以 D因此 E又 所以 平面FAB14 分- 8 -18解：2 2(1)xaxef（）因为 是函数 的一个极值点，()yf所以 1()02f因此， 4a解得 3经检验，当 时， 是 的一个极值点，故所求 的值为 .4a21x)(xfya344 分（）由（）可知， 2 28(1)3)4xefx令 ，得()0f123,x与 的变化情况如下：x1(,)2123(,)23(,)2()fx+ 0 - 0 +34e4e所以， 的单调
10、递增区间是()fx1(,),2单调递减区间是 3(,)当 时， 在 上单调递减，132b()fx,2b- 9 -在 上单调递增3(,)2所以 在 上的最小值为()fx,)b()4ef当 时， 在 上单调递增，32()f,)所以 在 上的最小值为()fx,)b223()14bbefa13 分19解（）由已知得， 且2ca4.c解得 ,又 224bc所以椭圆 的方程为 .4 分G2148xy（）证明：有题意可知，直线 不过坐标原点，设 的坐标分别为l,AB1212(,),()xyy（）当直线 轴时，直线 的方程为 且ll(0)xm22m则21 2,4,4xmyyOAB1210x2(4)0解得63m
11、故直线 的方程为l2x- 10 -因此，点 到直线 的距离为(0,)Ol263d又圆 的圆心为 ，半径283xy(0,)rd所以直线 与圆 相切.9 分l2（）当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为lxlykxn由 得2148yknx22()480kn21212,xkk2211()()()ynnx281kOAB120xy故22801nk即 223,38nk又圆 的圆心为 ，半径2xy(0,)O263r圆心 到直线 的距离为Ol21ndk22223()1ndk将式带入式得 283()- 11 -所以 263dr因此，直线 与圆 相切.14 分l283xy20解（）函数 的图象与坐标轴的交点为
12、，()yf (0,21)a又 2xae(0)f函数 的图象与直线 的交点为 ，()yg1y(,)又 1,x(2)a由题意可知， 21,4又 ，所以 .3 分0a不等式 可化为()xmfx()mxfx即 e令 ，则 ，()xh1()()2xhe10,2x又 时， ，xe1()12故 0hx在 上是减函数(),)即 在 上是减函数15因此，在对任意的 ，不等式 成立，,x()xmfx- 12 -只需 5(1)mhe所以实数 的取值范围是 .8 分5(,)e（）证明： 和 的公共定义域为 ，由（）可知 ，()yfx)yg(0,)1alnxe令 ，则 ，()1xq()1xqe在 上是增函数0,)故 ，即 ()x0xe令 ，则 ，ln1m1()m当 时， ；当 时， ，1x()0xx()0x有最大值 ，因此 ()1ln1由得 ，即lnxe2xe又由得 由得 l1nxe()ln2xfge故函数 和 在其公共定义域的所有偏差都大于 2.13 分y()y
