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1、数学试卷 一、选择题 1.已知集合 2 2 |,|g14loAx xBxx，则ABI= ( ) A ,2 B 0,2 C 2,0 D 2,2 2.ABC 的内角,A B C 的对边分别为, ,a b c ，若, ,a b c 成等比数列，且 2ca ，则 cosB = ( ) A 3 4 B 1 4 C 2 4 D 2 3 3.下列命题正确的个数为（） “函数sin2yx 的最小正周期为 2 ”为真命题； 对于命题 2 000 :R,10pxxx，则命题 :p 的否定： 2 R,10 xxx； 若,m nR，“ lnlnmn ”是“ mn ee ”的充分不必要条件 随机变量服从正态分布 2 (
2、)(24.8)0NP，则 24()0.3P . A.0 B. 1 C. 2 D.3 4.函数 13 sin 2cos2 22 fxxx xR ，将函数 fx 的图象向右平移 3 个单位长度，得到函数 g x 的图象，则 g x 在区间 0 2 ， 上的最小值为（） A.0 B. 3 2 C.-1 D. 1 2 5.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点为 F ，抛物线 2 16yx与双曲线 C 共焦点，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是等边三角形（O 为原点），则双曲线的标准方程为（） A. 22 1 412 xy B. 22 1 124 xy C. 2 2 1
3、3 x yD. 2 2 1 3 y x 6.已知数列n a满足 1 1 1 n n anN a ，且 1 2a ，则 2020 a =（） A.-1 B. 1 2 C. 3 2 D.2 7.已知函数 2 ( )2sin1 2 xx f xe， 1 5 (log 3)af ， 0.5 ( 0.4)bf， 3 log 3.1 (3)cf，则, ,a b c的大小 关系（） A. a cb B. b ca C. c ba D. a bc 8.已知 5 = 6 BAC, 3,2 3ABAC , BPBC u uu ruu u r ,且 5AP BC u uu ruuu r ,则 的值为（） A. 1
4、2 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4 9.已知定义在 R 上的奇函数 217 3,(1) ( )22 21,(01) x xxx f x x ，若关于 t 的方程( )(R)f tm m恰有 5 个不同的实数根 12345 ,t tttt ，则 12345 ttttt 的取值范围是( ) A. 2, 1 B. 1,1 C. 1,2 D. 2,3 二、填空题 10.已知 i 是虚数单位， ,m n均为实数，若复数 i 1i i nm ，则 mn=_. 11.在 3 1 2 n x x 的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为_. 12.正方体外接球的表面积为16 ，则
5、该正方体的表面积为 _. 13.已知圆 C 经过点 2, 1A ，和直线1xy相切，且圆心在直线2yx 上.则圆的方程为 _. 14.微信群里发四个红包（每个红包限1 人抢），五人来抢，每人限抢一个，面值分别是3 元 3元 6 元 8 元（相同面值算一种），则五人得到红包面值不同结果的种数有_.（填数字） 15.已知, , Rx y z求222 34xzyz xyz 的最大值为 _. 三、解答题 16.甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合 唱四个社团中随机选报两个社团。 （1）求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率。 （2）求同学甲选报足球社的概率
6、。 （3）若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随 机选两个，设报名足球社的同学人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望 17.已知平面ABCD平面 CDEF ，且四边形ABCD 是边长为2 的正方形，四边形CDEF 为直角梯 形，90CDE，/ /,12EFCD EFDEG,为线段 CF 上一点，且,CGHCF为线段DE上靠 近 E 的三等分点 . (1)当 1 2 时，求证/ /AH平面 BDG . (2)在 1 的条件下，求平面BDG 与平面 BCF 所成的锐二面角的余弦值. (3)当为何值时，直线BE与平面 BDG 所成角的正弦值为 2 3 .
7、18.已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率是 3 2 ，一个顶点是 0,1B ,椭圆的右顶点为A . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2) P 为椭圆 C 上一动点，求PAB面积的最大值； (3)设 ,P Q 是椭圆上异于顶点的任意两点，且BPBQ ，求证：直线PQ 恒过定点 . 19.数列n a的前 n 项和 n S 满足 : 222 10 nn SnnSnnnN， na为正项数列；数列nb是首项为 1 4 ，公比为 1 4 的等比数列 . （1）数列 na，nb的通项公式； （2）令2 2 1 2 nnn n n ca b na ，数列 n c的前 n 项和 n T
8、 ，求 n T . 20.设函数 1 0 x x fxaeb a ae ，其中e是自然对数的底数. (1)设曲线 yf x 在点2 2f，处的切线方程为 3 2 yx ，求,a b的值； (2)求 fx 在 0，内的最小值； (3)当1,0ab时，已知正数m满足：存在 0 1,x，使得 3 000 3fxmxx成立，试比较 1m e 与 1e m 的大小，并证明你的结论. 参考答案 1.答案： B 解析： 2.答案： A 解析：a b c, ,成等比数列， 2 bac ， 又2c a ， 22 2ba ， 则 222222 423 cos 2224 acbaaa B acaa . 3.答案：
9、D 解析： 4.答案： B 解析： 5.答案： A 解析： 6.答案： D 解析： 7.答案： C 解析： 8.答案： C 解析： 9.答案： B 解析： 10.答案： -2 解析： 11. 答案： 7 解析： 12.答案： 32 解析： 13.答案： 22 122xy 解析：圆心C 在直线2yx上,可设圆心为 , 2C aa . 则点 C 到直线1xy的距离 1 2 a d,根据题意 ,d AC ,则 2 221 221 2 a aa， 2 210aa，解得 1a. 圆心为 1, 2C ,半径 2rd ， 所求圆的方程是 22 122xy. 14.答案： 60 解析：5人抢 4个红包的不同方
10、法有5种（即有1个人抢不到）；对于抢到红包的4个人，抢到8 元的有 4 种可能，抢到6 元的有 3种可能，抢到3元的有 1 种可能： 543 151260. 15.答案： 5 2 解析： 16.答案：（ 1）设“恰有两个同学选报的社团完全相同”为事件 A ， 2211 3422 23 4 (1)5 () ()12 C CC C P A C 另解：四个社团中选两个一共有6个组合，每位同学从一个组合中选一个 2 3 3 655 () 612 C P A （2）设“甲同学选报足球社”为事件B 1 3 2 4 1 () 2 C P B C （3） X 的所有可能值为0,1,2,3， 甲同学报名足球社的
11、概率为 1 3 ， 由 2 可知，乙、丙报名足球社的概率都为 1 2 ， 故 22 11 (0)() 3 26 P X 212 2 1 1215 (1)()() 3 23212 P XC 212 2 2 11141 (2)( )() 3 232123 P XC 21 11 (3)() 3 212 P X X 0 1 2 3 P 1 6 5 12 1 3 1 12 5834 () 1212123 E X 解析： 17.答案： (1)平面 ABCD 平面CDEF，且交线为 CD , DECD DE平面 ABCD 故以,DA DC DE uuu r u uu r u uu r 方向为 , ,x y
12、z轴方向建立空间直角坐标系， 由题意得(0,0,0)D , (2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)ABC , (0,0,2)E， 4 (0,0,) 3 H， 3 (0,1) 2 G, 则 3 (0,1) 2 DG uuu r ,(2, 2,0)DB uuu r 设平面 DBG 的法向量为 111 (,)mx yz u r 则 11 11 3 0 2 220 yz xy ， 令(-2,2,-3)m u r ， 4 ( 2,0,) 3 AH u uu u r ，0AHm uuu u ru r 又 AH平面 BDG ， 故/ /AH平面 BDG (2)在平面 BCF 中，( 2,0,0),(
13、0, 1,2)BCCF uuu ruu u r 设平面 BCF 的法向量 222 (,)nxyz r ， 2 22 20 20 x yz ， 则令(0,2,1)n r 185 cos, 85 175 m n u r r 故两个平面所成的锐二面角的余弦值为 85 85 . (3) CGCF u uu ru uu r ， (0,2 )CG uuu r ， 故(0,2,2)G，(0,2,2),(2,2,0)DGDB uuuruuu r ， 11 11 220 (2)20 xy yz ，故设法向量( 2 ,2 ,2)m u r 由题意可知 2 |cos,| 3 m BE u r uu u r 2 |
14、24 |2 3 2 3 944 ，解得 2 5 （ 2 - 3 舍） 解析： 18.答案： (1)因为 3 2 e，1b，所以2,3ac 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y (2) 设 cos ,sin,5PAB 则 22122cos2 2cos2sin2 555 d 所以 221 11 521 22 5 PAB Sd AB . (3)由题知 k 存在，设1,1 22 ,P x yQ xy 设直线 PQ 为:lykx m ， 将直线l 代入椭圆 C 整理得 222 148440kxkmxm, 则 2 1212 22 -844 , 1414 kmm xxxx kk ， 2222 644 1
15、4440k mkm, 因为 BP BQ ，所以 12 12 11 1 yy xx ， 整理得 121212 10 x xy yyy， 因为 1122 ,ykxm ykxm， 整理得 22 1212 1110kx xk mxxm， 代入整理得 2 5230mm， 解得 3 5 m或1m（舍去） 所以，直线PQ 恒过定点 3 0 - 5 ， . 解析： 19.答案： (1)由 222 10 nn SnnSnn ， 得 2 10 nn SnnS， 由于 na是正项数列，所以 2 0, nnSSnn ， 于是 11 2,2aSn 时， 1 2 nnn aSSn， 综上，数列 na的通项公式 2 n a
16、n. 数列 n b是等比数列， 1 11 , 44 bq，所以 1 4 n n b . (2)因为2 2 11 2 4 42 n n n cn nn ， 令 1 2 4 n n前 n 项和为 2 2 1 , 42 n n A nn 前 n 项和为 nB，所以nnnTAB 231 11111 246212 44444 nn n AnnL 2341 111111 246212 444444 nn n AnnL 得 21 31111 22 44444 nn n AnL 所以 6881 - 994 n n n A 因为 222 2 1111 16 422 n n nnn ， 所以 22222222222 111111111111 1- 1632435
