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2、量的比率的增长率等于其增长率的差，即若，则（c）如果，则证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a）的结果。（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b）的结果。（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于，其中是常数，有下面的结果：则得到（c）的结果。1.2 假设某变量的增长率为常数且在时刻等于，在时刻下降为0
3、，在时刻逐渐由0上升到，在时刻之后不变且等于。（a）画出作为时间函数的的增长率的图形。（b）画出作为时间函数的的图形。答：（a）根据题目的规定，的增长率的图形如图1-1所示。从时刻到时刻的增长率为常数且等于（），为图形中的第一段。的增长率从0上升到，对应于图中的第二段。从时刻之后，的增长率再次变为。图1-1 时间函数的增长率（b）注意到关于时间的导数（即的斜率）等于的增长率，即：因此，关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到时刻，的斜率为（），在时刻，的增长率出现不连续的变化，因此的斜率出现扭曲，在时刻至时刻，的斜率由0逐渐变为；从时刻之后，的斜率再次变为（）。图1-2 关于时间的图形1.3
4、描述下面的每一种变化（如果存在的话）怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。（a）折旧率下降。（b）技术进步率上升。（c）生产函数是柯布道格拉斯型，并且资本份额上升。（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。答：（a）折旧率下降的影响由于持平投资线的斜率为，当折旧率下降后，持平投资线的斜率下降，持平投资线向右转，而实际投资线则不受影响。从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从上升到。图1-3 折旧率下降的影响（b）技术进步率上升的影响由于持平投资线的斜率为，当技术进步率上升后，会使持平投资线的斜率变大，持平投资线向左转，而实
5、际投资线则不受影响。从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从下降到。图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响（c）生产函数是柯布道格拉斯型的，并且资本份额上升的影响由于持平投资线的斜率为，因此上升对持平投资线没有影响。由于实际投资线为，而，因此。当资本份额上升时，实际投资线的变化需要分情况讨论：对于，如果，或者，则，即实际投资线随增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果，或者，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。除此之外，上升对于的影响还受到和的大小的影响。如果，的上升会使上升，如图1-5所示。图1-5 资本
6、份额上升的影响（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响：如果修改密集形式的生产函数形式为：，则实际投资线为。工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为上升，的上升会使实际投资线上升；持平投资线并不受影响，此时，也从上升到，如图1-6所示。图1-6 单位有效产出比以前更高的影响1.4 考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济，其正处在平衡增长路径上。现在假设工人数发生了一次跳跃。（a）在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变？为什么？（b）在新工人出现时，每单位有效劳动的产出发生初始变化（如果存在的话）之
7、后，单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化？如果发生变化，其将上升还是下降？为什么？（c）一旦经济再次达到平衡增长路径，此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出？为什么？答：（a）假定在时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每单位有效劳动的投资数量从下降到。从这一式子中可以看出，由于上升，而和则没有变化，因此，会下降。因为，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。在图1-7中，从下降到。图1-7 单位有效劳动数量降低的影响（b）在处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资，即：。在处，经济中储蓄和投资超过了折旧
8、和技术进步所需要的投资数量，因此开始上升。随着每单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上升。因此，从返回到。（c）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本水平。在处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。一旦经济返回到平衡增长路径，便会返回到处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。1.5 设生产函数是柯布道格拉斯型的。（a）找出作为模型参数、和的函数的、与的表达式。（b）的黄金律值是什么？（c）获得黄金律资本存量
9、所需的储蓄是什么？解：（a）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：定义柯布道格拉斯生产函数为：，将其代入上式，有下式：在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而保持不变，则有下面结果：从上式可以解出： （1）下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平：将方程（1）代入，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平： （2）下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平。将方程（2）代入，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为： （3）综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出、与关于模型参数、和的函数表达式。（b）黄金率的资本
10、存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。由方程（1）可以解出，即： （4）将上式代入方程（3），有下式： 上式可以简化为： （5）即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。下面求关于的最优化，可以由（5）得出：再简化为： （6）方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。其中，方程（6）左边，因为，则，表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。可以由方程（6）解出黄金
11、规则要求的最佳资本水平，即的黄金律值： （7）（c）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平：进一步简化为： （8）由方程（8）可以得出：对于柯布道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。1.6 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。为了简化分析，假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。（a）每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化？描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。（b）描述人口增长的下降对产出（即总产出而非每个工人平均产出的）路径的影响。答：（a）由于不存在技术进步，这里可
12、以不考虑技术因素，将每单位有效劳动简化为平均劳动，定义：，。由于持平投资线的斜率为，因此，人口增长率的下降会使持平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦。每个工人平均资本的动态方程为：由于下降，这会导致变为正数（在平衡增长路径上，为0，即资本存量处于最佳水平）。在处，每个工人平均实际投资超过了每个工人平均持平投资，因而，会增加，移向，如图1-8所示。图1-8 人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的影响随着每个工人平均资本的增加，由可以知道每工人平均产出会上升。又因为，由于不变，而上升，因此每个工人平均消费会上升。如图1-9所示。其中，图1-9（1）为每个工人平均资本的变化图，图1-
13、9（2）为每个工人平均产出的变化图，图1-9（3）为每个工人平均消费的变化图。图1-9 每个工人平均资本、产出、消费的变化（b）由定义，则的增长率为。在开始的平衡增长路径上，/，因此，在最终的平衡增长路径上，。因此，人口增长的下降会导致总产出的增长率下降，如图1-10所示。图1-10 总产出增长率的下降1.7 找出平衡增长路径上每单位有效劳动的产出关于人口增长率的弹性。如果、以及，由2下降至1将会使提高多少？解：由于，所以对该式两边对求导数，有下式的结果： （1）而值可以从资本的动态方程式中寻找。在平衡增长路径上，因此有：，对两边关于求导，得到下式：求解可得： （2）将方程（2）代入（1）式，得： （3）由求解，可得： （4）将方程（4）代入（3）式，可得：求关于的弹性形式： （5）产出的资本弹性为，代入（5）式： （6）将、以及，由2下降至1代入，其中取中值，为0.015，有下式的结果：因此，由2下降至1，下降了50%，则产出会上升6%（）。可以发现，人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度增长。上述结论有着极其重要的价值。在索洛模型中，在解释经济增长的原因时，索洛从资本的角度加以解释，但他发现，资本的差异既不能解释人类历史上长
