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1、板块命题点专练(四)导数及其应用 (研近年高考真题找知识联系,找命题规律,找自身差距)命题点一导数的运算及几何意义 命题指数: 难度:中、低题型:选择题、填空题、解答题1(2014大纲卷)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2 D12(2014新课标全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x,则a()A0 B1C2 D33(2013江西高考)设函数f(x)在(0,)内可导,且f(ex)xex,则f(1)_.4(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线yax2(a,b为常数)过点P(2,5),且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行,
2、则ab的值是_.1(2012辽宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1,) D(0,)2(2014新课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1, )单调递增,则k的取值范围是()A(,2 B(,1 C2,) D1,)3(2013浙江高考)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),则()A当k1时,f(x)在x1处取到极小值B当k1时,f(x)在x1 处取到极大值 C当k2时,f(x)在x1处取到极小值 D当k2时,f(x)在x1处取到极大值 4(2014江西高考)在同一直角坐标系中,函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR
3、)的图象不可能的是()5(2014陕西高考)设函数 f(x)ln x,m R.(1)当me(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数;(3)若对任意ba0,1 恒成立,求 m的取值范围6.(2014北京高考)已知函数f(x)xcos xsin x,x.(1)求证:f(x)0;(2)若a0),若f(x)在1,1上的最小值记为g(a)(1)求g(a);(2)证明:当x1,1时,恒有f(x)g(a)4.答 案命题点一1选C由题意可得yex1xex1,所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2,故选C.2选Dya,由题意得y|x02,即a12,所以a3.3
4、解析:因为f(ex)xex,所以f(x)xln x(x0),所以f(x)1,所以f(1)2.答案:24解析:yax2的导数为y2ax,直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.答案:3命题点二1选B函数yx2ln x的定义域为(0,),yx,令y0,则可得01时,f(x)k0恒成立,即k在区间(1,)上恒成立因为x1,所以01,所以k1.故选D.3选C当k1时,f(x)(ex1)(x1),0,1是函数f(x)的零点当0x1时,f(x)(ex1)(x1)1时,f(x)(ex1)(x1)0,1不会是极值点当k2时,f(x)(ex1)(x1)2,零点还是0,1,但是当0x1时,f(x)0,由极
5、值的概念,故选C.4选B分两种情况讨论:当a0时,函数为yx与yx,图象为D,故D有可能;当a0时,函数yax2x的对称轴为x,对函数ya2x32ax2xa求导得y3a2x24ax1(3ax1)(ax1),令y0,则x1,x2,所以对称轴x介于两个极值点x1,x2之间,A,C满足,B不满足,所以B不可能故选B.5解:(1)由题设,当me时,f(x)ln x,则f(x),当x(0,e),f(x)0,f(x)在(0,e)上单调递减,当x(e,),f(x)0,f(x)在(e,)上单调递增,xe时,f(x)取得极小值f(e)ln e2,f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0),令g(
6、x)0,得mx3x(x0)设(x)x3x(x0),则(x)x21(x1)(x1),当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,)时,(x)0,(x)在(1,)上单调递减x1是(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x1也是(x)的最大值点,(x)的最大值为(1).又(0)0,结合y(x)的图象(如图),可知当m时,函数g(x)无零点;当m时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)有两个零点;当m0时,函数g(x)有且只有一个零点综上所述,当m时,函数g(x)无零点;当m或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)有两个零点(3)对任意的ba
7、0,1恒成立等价于f(b)bf(a)a恒成立(*)设h(x)f(x)xln xx(x0),(*)等价于h(x)在(0,)上单调递减,由h(x)10在(0,)上恒成立,得mx2x2(x0)恒成立,m,m的取值范围是.6解:(1)证明:由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间上f(x)xsin x0,所以f(x)在区间上单调递减从而f(x)f(0)0.(2)当x0时,“a”等价于“sin xax0”;“b”等价于“sin xbx0”令g(x)sin xcx,则g(x)cos xc.当c0时,g(x)0对任意x恒成立当c1时,因为对任意x,g
8、(x)cos xc0,所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立当0c1时,存在唯一的x0使得g(x0)cos x0c0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下:x(0,x0)x0g(x)0g(x)因为g(x)在区间0,x0上是增函数,所以g(x0)g(0)0.进一步,“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0,即0c.综上所述,当且仅当c时,g(x)0对任意x恒成立;当且仅当c1时,g(x)0对任意x恒成立所以,若ab对任意x恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1.7解:(1)因为a0,1x1,所以()当0a1时,若x1,a,则f(x)x33x3a,f(x)3x230,
9、故f(x)在(a,1)上是增函数;所以g(a)f(a)a3.()当a1时,有xa,则f(x)x33x3a,f(x)3x230,故f(x)在(1,1)上是减函数,所以g(a)f(1)23a.综上,g(a)(2)证明:令h(x)f(x)g(a),()当0a1时,g(a)a3.若xa,1,h(x)x33x3aa3,得h(x)3x23,则h(x)在(a,1)上是增函数,所以h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3,且0a0,知t(a)在(0,1)上是增函数所以t(a)t(1)4,即h(1)4.故f(x)g(a)4.()当a1时,g(a)23a,故h(x)x33x2,得h(x)3x23,此时h(x)在(1,1)上是减函数,因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4.故f(x)g(a)4.综上,当x1,1时,恒有f(x)g(a)4.