2015年安徽高考理科数学第18题的单调证明

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1、2015年安徽高考理科数学第18题的单调证明 (2015年安徽高考理科第18题)设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.()求数列xn的通项公式;()记Tn=x12x32x2n-12,证明:Tn.解析:()由y=x2n+2+1=(2n+2)x2n+1|x=1=2n+2曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线方程:y-2=(2n+2)(x-1);令y=0切线与x轴交点的横坐标xn=;()令f(n)=nTn,则f(n)0,且=x2n+12=()2=1f(n+1)f(n)f(n)单调递增f(n)f(1)=x12=nTnTn. 本题的两问构成两个部分: 第一

2、部分:由曲线的切线生成数列,此为高考的一个热点;2015年安徽高考的第()太直接、简单,对此,作者命制了如下试题: (2015年Y.P.M高考预测试卷第九卷第13题)(可搜索百度文度,考前上传)设曲线y=x2(x0)在Pn(xn,xn2)处的切线与x轴交于点Qn(xn+1,0),若x1=1,则数列xn的通项xn= .解析:由y=x2=2xx=2xn;由=2xnxn+1=xnxn=()n-1. 第二部分:证明积式不等式,对此,作者在其专著挑战安徽高考数学把关题中,有详细研究,给出了绝妙的单调性证法,如: (杨培明著挑战安徽高考数学把关题(2014年).第29讲:数列不等式的单调证明.例8)(可搜索百度文度):己知数列an的前n项和为Sn满足:Sn=nan+1(nN+),其中,a1=1.令bn=(nN+).()求数列an的通项公式;()证明:bn;()证明:b14+b24+bn4.解析:()由Sn=nan+1S1=a2a2=2;当n2时,由an=Sn-Sn-1=nan+1-(n-1)an(n+1)an=nan+1=1an=n,且a1=1适合该式,故an=n;()令f(n)=bn,则=1f(n)单调递减f(n)f(1)=1bn;()由()知,bnbn4=(-)b14+b24+bn4()4+(-)=. 2015年6月10日