《3.3线性方程组的解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3线性方程组的解（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 线性方程组的解,第三章,二、基础解系及其求法,四、小结,一、齐次线性方程组的性质,三、非齐次线性方程组的性质,解向量的概念,设有齐次线性方程组,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成矩阵方程,若,称为方程组(1) 的解向量.,若记,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,于是 可化为,设齐次线性方程组的系数矩阵为
2、， 并不妨设 的前 个列向量线性无关,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则 其通解为,定理,例1 求齐次线性方程组的基础解系和通解,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例2,证,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性
3、质,证明,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题:,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于方程组中方程的个数与未知量 的个数相同且系数行列式不等于零的情形，计算量 大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明 很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法,解,例3 求下述方程组的解,令,先求对应的齐次线性方程组的基础解系：,且原方程组等价于方程组,故得对应的齐次线性方程组的基础解系,依次得,故所求通解为,再求非齐次线性方程组的一个特解：,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结, 线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,练习：求解方程组,解,
