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1、 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证:(2)求
2、证: (3)求证:(4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析: 一方面: 因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足.设，整数.证明:.解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数, 使, 则,若,则由知,因为,于是例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,求证:.解析:所以
3、 从而例7.已知,求证:证明: ,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而所以 例9.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题)例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以例14. 已
4、知证明解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例16.(2008年福州市质检)已知函数若 解析:设函数 函数）上单调递增，在上单调递减.的最小值为，即总有而即令则 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有
5、所以(方法二) 所以 又,所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即例20.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证:解析: 例22. 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明4，; (2)证明有，使得对都有. 解析:(1) 依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，则 设，则当时，
6、。所以，取，对都有：故有成立。例23.已知函数，若的定义域为1，0，值域也为1，0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.例24. 设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证五、迭代放缩例25. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论例26. 设,求证:对任意的正整数k,若kn恒有:|Sn+kSn|0,b0
7、,求证：解析: 因为a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列，设，从而47.设，求证.解析: 观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数，满足：对任意，都有；对任意都有.（I）试证明：为上的单调增函数；（II）求；（III）令，试证明：. 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知,令,则可以得到
