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1、第 1 页 共 7 页 l m 广东高考数学真题汇编：立体几何 1、 （2011广东文数） 正五棱柱中， 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线， 那么一个正五棱柱对角线的条数共有（） A、20B、15 C、12D、10 1 解答：解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在 任何侧面内， 故从一个顶点出发的对角线有 2 条正五棱柱对角线的条数共有 25=10 条故选 D 2、（2011广东文数）如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三 角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 （） A、B、4 C、D、
2、2 3、 （2011广东理数） 如某几何体的正视图 （主 视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯 视图都是矩形，则几何体的体积为（） A、6B、9 C、12D、 18 5. （2009 广东文科）给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行， 那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两 个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交 线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 6（2008 广东文数）将正三棱柱截去三个角（如图 1
3、 所示，分别是三边的中点）得 ABC， ，GHI 到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） E F D I A HG BC E F D A BC 侧视 图 1图 2 B E A B E B B E C B E D 7（2007 广东文数）若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真 lmn， 命题的是（） 若，则若，则 ln， ln l，l 若，则若，则 lnmn，lmll ， 8、（2006 广东）给出以下四个命题 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行; 如果一条直线和一个平面内的两条相交直
4、线都垂直,那么这条直线垂直于这个平 面; 如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 第 2 页 共 7 页 A.4 B.3 C.2 D.1 9. (2005 广东)给出下列关于互不相同的直线、 、和平面、，的四个命题： mln 若，点，则 与不共面； Alm, mAlm 若 m、l 是异面直线, , 且，则； /,/mlmnln , n 若, ，则； /,/ml/ ml / 若点A，则 mlml,/,/ml/ 其中为假命题的是 A B C D 11、（2006 广东）若棱长为 3 的正方体的顶点都
5、在同一球面上，则该球的表面积为 13（2008 广东文数）如图 5 所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形， PABCDABCDR 其中是圆的直径，垂直底面， BD60ABD 45BDC PDABCD2 2PDREF， 分别是上的点，且，过点作的平行线交于 PBCD， PEDF EBFC EBCPCG （1）求与平面所成角的正弦值； BDABP （2）证明：是直角三角形； EFG （3）当时，求的面积 1 2 PE EB EFG 13解：（1）在中， Rt BAD ， 60ABD ,3ABR ADR 而 PD 垂直底面 ABCD， 2222 (2 2 )( 3 )11PAPDADRRR ,
6、 2222 (2 2 )(2 )2 3PBPDBDRRR 在中，,即为以为直角的直角三角形。 PAB 222 PAABPBPABPAB 设点到面的距离为, DPABH 由有PA.AB.H=AB.AD.PD, P ABDD PAB VV 即 ， 32 22 66 1111 AD PDRR HR PAR ; 66 sin 11 H BD (2),而, / /, PEPG EGBC EBGC PEDF EBFC 即,，,是直角三角形； ,/ / PGDF GFPD GCDC GFBCGFEGEFG （3）时, 1 2 PE EB 1 3 EGPE BCPB 2 3 GFCF PDCD 即, 1122
7、24 2 2cos45,2 2 333333 EGBCRR GFPDRR 的面积 EFG 2 1124 24 22339 EFG SEG GFRRR 16（2007 广东理数）如图 6 所示，等腰三角形ABC 的底边 AB=，高 CD=3，点 E 是线段 BD 上 6 6 异于 B、D 的动点，点 F 在 BC 边上，且 EFAB，现沿 EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使 PEAE， F C P G E A B 图 5 D 第 3 页 共 7 页 记 BE=x，V（x）表示四棱锥 P-ACEF 的体积。 （1）求 V(x)的表达式； （2）当 x 为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当
8、 V（x）取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值。 16（1）由折起的过程可知，PE平面 ABC， 9 6 ABC S 2 2 6 5412 BEFBDC x SSx V(x)=（） 2 61 (9) 312 xx 03 6x （2），所以时， ，V(x)单调递增 ；时 ，V(x) 2 61 ( )(9) 34 Vxx (0,6)x( )0v x 63 6x ( )0v x 单调递减；因此 x=6 时，V(x)取得最大值； 12 6 （3）过 F 作 MF/AC 交 AD 与 M,则，PM=， ,212 1 2 BMBFBEBE MBBE ABBCBD AB 6 2 ， 66
9、 54942 33 6 MFBFPFBC 在PFM 中， ，异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 84722 cos 427 PFM 2 7 17、（2006 广东）如图 5 所示，AF、DE 分别是O、O1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD 8,BC 是O 的直径，ABAC6，OE/AD. ()求二面角 BADF 的大小； ()求直线 BD 与 EF 所成的角. 17、解：()AD 与两圆所在的平面均垂直, ADAB, ADAF,故BAD 是二面角 BADF 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以BAD450. 即二面角 BADF 的大小为 450； ()以 O 为原
10、点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则 O（0，0，0） ， A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0） 23232323 所以， )8 ,23, 0(),8 ,23,23(FEBD 10 82 82100 64180 | ,cos FEBD FEBD EFBD 设异面直线BD 与EF 所成角为，则 10 82 |,cos|cosEFBD 直线 BD 与 EF 所成的角为 10 82 arccos 19(2005 广东)如图 3 所示，在四面体中，已知， ABCP 6 BCPA 是线段上一点，点在线段上，且 342, 8,1
11、0PBACABPC FPB 34 17 15 CF EAB PBEF （）证明：； FPB平面 （）求二面角的大小 FCEB 19【答案】 ()证明：在中， ABC , 6,10, 8BCABAC PAC 是以PAC 为直角的直角三角形， , 222 ABBCAC 同理可证，PAB 是以PAB 为直角的直角三角形， 第 4 页 共 7 页 PCB 是以PCB 为直角的直角三角形 在中， PCBRt ,34 17 15 ,342, 6,10CFPBBCPC 又 ,CFPBBCPC,CFPB ,FCFEFPBEF.CEFPB平面 （II）解法一：由（I）知 PBCE，PA平面 ABC AB 是 P
12、B 在平面 ABC 上的射影，故 ABCECE平面 PAB，而 EF平面 PAB， EFEC，故FEB 是二面角 BCEF 的平面角， ， EFBPAB3 5 6 10 cottan AP AB PBAFEB 二面角 BCEF 的大小为 3 5 arctan 解法二：如图，以 C 点的原点，CB、CA 为x、y轴， 建立空间直角坐标系 Cxyz，则 ， )0, 0, 0(C)0, 8, 0(A)0, 0, 6(B)6, 8, 0(P 为平面 ABC 的法向量，为平面 ABC 的法向量， )6, 0, 0(PA)6, 8, 6(PB ， 34 343 3426 36 ,cos PBPA PBPA
13、 PBPA 二面角 BCEF 的大小为 34 343 arccos 20（2004 广东）如右下图，在长方体中，已知，分 1111 ABCDABC D 1 4,3,2ABADAA,E F 别是线段上的点，且 ,AB BC 1EBFB (I)求二面角的正切值 1 CEDC (II)求直线与所成角的余弦值 1 EC 1 FD 20解：（I）以 A 为原点，分别为 x 轴，y 轴,z 1 ,AAADAB 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是， )2 , 2 , 4(),2 , 3 , 1 (),0 , 3
14、, 3( 11 FDECDE 设向量与平面 C1DE 垂直，则有 ),(zyxn 2 2 tan 3 6 400411 220101 | cos ,)2 , 0 , 0( ,),2 , 1, 1( 0),2 , 1, 1( 2 ), 2 , 2 ( 2 1 023 033 10 10 110 1 100 1 AAn AAn CDECAAn CDEAA DECnn z z z zz n zyx zyx yx ECn DEn 的平面角为二面角所成的角与 垂直与平面向量 垂直的向量是一个与平面则取 其中 （II）设 EC1与 FD1所成角为，则 AB D A1 1 C B1 1 D1 1 C1 1
15、E F A C B P F E x y z 第 5 页 共 7 页 14 21 22)4(231 2223)4(1 | cos 222222 11 11 FDEC FDEC 21、（2011广东文数）如图所示的几何体是将高为 2，底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后， 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A，B，B分别为的中 点，O1，O1，O2，O2分别为 CD，CD，DE，DE的中点 （1）证明：O1，A，O2，B 四点共面； （2）设 G 为 A A中点，延长 AO1到 H，使得 O1H=AO1证明：BO2平面 HBG 考点：直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性
16、质及推论。 专题：证明题；综合题。 分析：（1）要证 O1，A，O2，B 四点共面，即可证四边形 BO2AO1为平面图形，根据 AO1 与 BO2在未平移时属于同一条直径 知道AO1BO2即BO2AO1再根据BO2=AO1=1即可得到四边形BO2AO1是平行四边形， 则证 （2）建立空间直角坐标系，要证 BO2平面 HBG 只需证， 根据坐标运算算出，的值均为 0 即可 解答：证明：（1）B，B 分别是中点 BO2BO2 AO1与 BO2在未平移时属于同一条直径 AO1BO2 BO2AO1 BO2=AO1=1 四边形 BO2AO1是平行四边形 即 O1，A，O2，B 四点共面 （2）以 D 为原点，以向量 DE 所在的直线为 X 轴，以向量 DD所在的
