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1、美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 2018-2019 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 理试 卷 考生注意： 1本试卷共4 页，23 道试题，满分150 分。考试时间120 分钟。 2本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题， 第二大题为选择题，第三大题为解答题。 3答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。 4作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。第二大题 的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写 在答题纸上与试卷题号对应的位置。 一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸 上相应编号的空格内直接填
2、写结果，每个空格填对得4 分，否则一律 得零分 1函数 3 log (1)yx 的定义域是 . 2集合 2 |30Ax xx ， 2Bx x ，则 UAB 等于 . 3若复数 1i1 1i2 b （i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 b 的值 为 . 4已知函数 3 log1 ( ) 21 x f x ，则 1 (0)f . 5若一个圆锥的母线长是底面半径的 3倍，则该圆锥的侧面积是底面 积的倍. 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 6平面向量 a r 与 b r 的夹角为 60 ， 1a r ， (3,0)b r ，则 2ab rr . 7已知 ABC 的周长为 4，且sin si
3、n3sinABC ，则 AB 边的长为 . 8若 6 1 x x 的展开式中的 3 x 项大于 15，且x 为等比数列 n a 的公比， 则 12 34 lim n n n aaa aaa L L . 9若 0m ， 0n ， 1mn ，且 1t mn（0t ）的最小值为 9，则t . 10若以 x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角为 参数，则圆 22 20 xyx 的参数方程为 . 1cos sin x y （ 02 ） 11若 AB是圆 22 (3)1xy 的任意一条直径， O 为坐标原点， 则 OA OB uuu r uuu r 的 值为 12在极坐标系中， 从四条曲线
4、1: 1C ， 2: C （ 0 ）， 3: cosC ， 4 :sin1C 中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量，则随机 变量的数学期望 E = . 13设数列 n a 的前 n 项和为 n S ， 2 2|2016| n Sna n=+- （ 0a ），则使得 1nn aa （ n * N ）恒成立的 a的最大值为 . 14 (理科）若两函数 yxa 与 2 12yx 的图像有两个交点 A、B，O 是坐标原点， OAB 是锐角三角形，则实数 a 的取值范围是 . 二. 选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题只有一个正确 答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格
5、涂黑，选对 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 得 5 分，否则一律得零分 15如果 ab，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A) 11 ab (B) 22 ab (C) lg1lg1ab (D) 22 ab 16若 lm、 是两条直线， m 平面，则“ lm”是“/l ”的（）. (A) 充要条件(B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件(D) 既 非充分又非必要条件 17如图，在正方体 1111 ABCDA BC D 中，E是 1 AA 的 中点， P为底面 ABCD内一动点，设 1 PDPE、 与底 面 ABCD 所成的角分别为 12 、 （ 12 、 均 不为 0 ) 若
6、12，则动点 P的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）. (A)直线(B)圆(C) 椭圆(D) 抛物线 18将函数 ( )2sin 2f xx 的图像向右平移（ 0 ）个单位后得到函 数 ( )g x 的图像若对满足 12 ()()4f xg x 的 12 xx、 ，有 12 xx 的最小值为 则（）. （A）(B) （C） 或(D) 或 三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须 在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19.（本题满分 12 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 A B C D P P A B C D P A B C D 复数 2 1 sini
7、 cos2zxx ， 2 2 sini coszxx （其中 xR ，i为虚数单位） . 在复 平面上，复数 1 z 、 2 z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数； 若不能，说明理由 20.（本题满分 14 分）本题共有2 个小题，每小题满分各7 分 如图，在直角梯形 PBCD 中， /PBDC ， DCBC ， 22PBBCCD ，点 A 是 PB的中点，现沿AD将平面PAD 折起，设 PAB （1）当为直角时，求异面直线 PC 与 BD所成角的大小； （2）当 为 多 少 时 ， 三 棱 锥 PABD 的 体 积 为 2 6 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 21（本题满
8、分14 分）本题共有2 个小题，第（ 1）小题满分 6 分， 第（2）小题满分8 分 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模 型 ()n * N ： 以 8 12 2002000,(18) ( )360 33000,(932) 32400720,(3345) n nn f nn nn 表示第 n个时刻进入园区的人数； 以 0,(118) ( )5009000,(1932) 8800,(3345) n g nnn n 表示第 n 个时刻离开园区的人数 设定以 15分钟为一个计算单位， 上午9点15分作为第 1个计算人数单位， 即 1n ； 9点30分作为第 2个计算单位，即
9、 2n ；依次类推，把一天内 从上午 9点到晚上8 点15分分成 45 个计算单位（最后结果四舍五入，精 确到整数） （ 1）试计算当天 14点至 15 点这一小时内，进入园区的游客人数 (21)(22)(23)(24)ffff 、离开园区的游客人数 (21)(22)(23)(24)gggg 各为 多少？ （2）从 13点45分（即19n ）开始，有游客离开园区，请你求出这之后 的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 22（本题满分16 分）本题共有3 个小题 ,第(1)(2)小题满分各5 分,第 (3)小题满分 6 分 已知椭圆： 22 22 1
10、xy ab (0)ab 的右焦点与短轴两端点构成一个面积 为 2的等腰直角三角形， O为坐标原点 （1）求椭圆的方程； （2）设点 A在椭圆 上，点 B 在直线 2y 上，且 OAOB， 求证： 22 11 OAOB 为定值； （3）设点 C 在椭圆上运动， OCOD ，且点 O 到直线 CD 的距离为常数 d 02d ，求动点 D 的轨迹方程 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 23（本题满分18 分）本题共有3 个小题 ,第(1)小题满分 6 分,第(2)小 题满分 5 分，第 (3)小题满分 7 分 已知 n * N ,数列 n a 、 n b 满足: 1 1 nn aa , 1
11、1 2 nnn bba ,记 2 4 nnn cab （1）若 1 1a ， 1 0b ，求数列 n a 、 n b 的通项公式； （2）证明：数列 n c 是等差数列； （3）定义 2 ( ) nnn fxxa xb ，证明：若存在 k * N ，使得 k a 、 k b 为整数， 且 ( ) k fx 有两个整数零点，则必有无穷多个 ( ) n fx 有两个整数零点 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 参考答案与评分标准 一、填空题（第1 题至第 14 题）每题正确得4 分，否则一律得0 分 1 1, ；2 2,3 ；3 2； 4 9； 5
12、3； 6 19 ； 71；81；9 4； 10 1cos sin x y （ 02 ） 、11 8 ；121 13 1 2016 14 6 2 3 , 33 、 二. 选择题（第 15 题至 18 题）每题正确得5 分，否则一律得0 分 15D；16C；17B；18 C 三、解答题（第19 题至 23 题） 19.（本题满分 12 分） 解：设复数 1 z ， 2 z 能表示同一个点，则 cos2cosxx 3 分 解得 cos1x 或 1 cos 2 x ，7 分 当 cos1x 时，得 2 sin0 x ，此时 12 izz ；9 分 当 1 cos 2 x 时，得 2 3 sin 4 x
13、 ，此时 12 31 i 42 zz ；11 分 综上，复平面上该点表示的复数为 i或 31 i 42 12 分 20.（本题满分 14 分）本题共有2 个小题，每小题满分各7 分 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 P A B C D x y z P A B C D 解：理 :（1）当为直角时 ,即 ,AB AD AP 两两互相垂直，以点 A为坐标原 点， ,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标 系, 1 分 则 (1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)BCDP , (1,2, 1)PC uuu r , ( 1,2,0)BD u uu r 3 分 设异面直线 PC
14、与BD所成角为 ,则 cos PC BD PCBD uuu r uuu r uuu ruuu r30 10 5分 故 异 面 直 线 PC 与 BD 所 成 角 为 30 arccos 10 7 分 （2）沿 AD将平面PAD折起的过程中，始终 有 PAAD ， ABAD ， ADPAB面 ，由 PABDABDP VV 得9 分 21 63 PAB SDA 11 21 1 sin 32 ， 2 sin 2 12 分 4 或 3 4 14 分 21（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第（ 1）小题满分 6 分， 第（2）小题满分8 分 解 ： （ 1 ） 当 天 14 点 至 15 点 这
15、一 小 时 内 进 入 园 区 人 数 为 (21)(22)(23)(24)ffff 13141516 12121212 3603333 30004 17460（人） 3 分 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 离开园区的人数 (21)(22)(23)(24)=9000gggg （人）6 分 （2）（理）当 0)()(ngnf 时，园内游客人数递增；当 0)()(ngnf 时， 园内游客人数递 减7 分 当 1932n 时，由 8 12 ( )( )360 3500120000 n f ng nn ，可得： 当 1928n 时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越 来越多；9
16、分 当 3229n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变 少； 11 分 （ 049.246)28()28(gf ； 013.38)29()29(gf ） 当 4533n 时，由 ( )( )72023600f ng nn 递减，且其值恒为负数 进 入 园 区 游 客 人 数 少 于 离 开 游 客 人 数 ， 总 人 数 将 变 少13 分 综上，当天下午 16点时（28n ）园区内的游客人数最多，此时计算可 知 园区大约共有 77264 人. 14 分 22（本题满分16 分）本题共有3 个小题 ,第(1)(2)小题满分各5 分,第 (3)小题满分 6 分 解：（ 1）由条件可得 2bc ， 2a ，3 分 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 椭圆的方程为 22 1 42 xy 5 分 （2）设 00 (,)A xy ，则 OB的方程为 00 0 x xy y ，由 2y 得 0 0 2 (,2) y B x 7
