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1、美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 阶段易错考点排查练(二) 三角函数、解三角形、平面向量、复数 考点一三角函数 易 错 点 1.忽视角的取值范围 2.左右平移法则理解不清 3.忽视三角函数的周期性 4.忽视隐含条件的挖掘 1.已知为第二象限角 ,sin +cos = 3 3 ,则 cos2 = ( ) A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 9 D. 5 3 【解析】 选 A.因为 sin +cos = 3 3 , 所以(sin +cos ) 2=1 3,即 2sin cos =- 2 3 , 所以(sin -cos ) 2=1+2 3= 5 3, 因为是第二象限角 , 所以 sin
2、 -cos = 5 3= 15 3 , 所以 cos2 =cos 2 -sin2 =(cos +sin )(cos -sin ) = 3 3 (- 15 3 )=- 5 3 . 2.(2014 浙 江 高 考 )为 了得 到 函 数y=sin3x+cos3x的 图 象 ,可 以 将 函 数 y= 2sin3x 的图象( ) A.向右平移 4个单位 B.向左平移 4个单位 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 C.向右平移 12 个单位 D.向左平移 12 个单位 【解析】 选 D.因为 y=sin3x+cos3x= 2sin(3x + 4), 故只需将 y= 2sin3x 的图象向左平移
3、12 个单位即可 . 3.已知函数 f(x)=sin( x + 4) (0)在( 2 , ) 上单调递减 ,则的最大值为 ( ) A. 1 2 B. 3 4 C. 5 4 D.2 【解析】 选 C.由 2 x0 得, 2 + 4x+ 4 0,0,R),则“ f(x)是奇函数”是“ = 2 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 【解析】 选 B.由 f(x)是奇函数 ,则= 2 +k (kZ),所以= 2不成立 ,反之,若= 2, 则 f(x)=Acos( x + 2 )=-Asin x 是奇函数
4、. 【加固训练】 1.若 4 , 2 ,sin2 = 3 7 8 ,则 sin = ( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 7 4 D. 3 4 【解析】 选 D.方法一 :验证法 :因为 4 , 2 ,所以 sin cos , 又因为 sin2 =2sin cos = 3 7 8 , 验证答案易知 ,D 正确 . 方法二 :因为 4 , 2,所以 2 2 , 又因为 sin2 = 3 7 8 ,所以 cos2 =- 1 - sin 2 2 =- 1 8, 即 1-2sin 2 =-1 8,sin 2 =9 16 , 所以 sin = 3 4. 2.已知 sin( + 3) +sin =-
5、4 3 5 , (- 2 ,0) ,则 cos = . 【解析】 因为 sin( + 3 ) +sin =- 4 3 5 , 所以 3 2 sin + 3 2 cos =- 4 3 5 , 3 ( 3 2 sin+ 1 2 cos )=- 4 3 5 , sin(+ 6 ) =- 4 5, 因为(- 2 ,0) , 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 所以- 3 + 6B,则 sinAsinB; 在锐角 ABC中,sinAcosB. 其中正确结论的序号是. 【解析】 由正弦定理知 ,正确 ;由余弦定理 ,得 cosA= b2+c 2-a2 2bc = -bc 2bc =- 1 2,所以
6、A=120 ,不正确 ; 在ABC 中,若 AB,则 ab,因为 a sinA = b sinB , 所以 sinAsinB,正确 ;因为 ABC是锐角三角形 , 所以 A+B 2,即 A 2-B,又因为正弦函数 y=sinx 在0, 2 上单调递增 ,所以 sinAsin( 2 - B) . 即 sinAcosB,所以正确 . 答案: 【加固训练】 如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至 C 处有两种路径 .一种是从 A 沿 直线步行到C,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从A 处下山 ,甲沿 AC 匀速步行 ,速度为 50m/min. 在甲
7、 出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B处停留 1min 后,再从 B匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min, 山路AC 长为1260m,经测 量,cosA= 12 13 ,cosC= 3 5 . 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 (1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制 在什么范围内 ? 【解析】 (1)在ABC 中,因为 cosA= 12 13 ,cosC= 3 5,所以 sinA= 5 13 ,sinC= 4 5 . 从而 si
8、nB=sin -(A+C) =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC = 5 13 3 5+ 12 13 4 5= 63 65 . 由正弦定理 AB sinC = AC sinB ,得 AB= AC sinB sinC= 1 260 63 65 4 5=1040(m). 所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 tmin 后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了 (100+50t)m, 乙 距离 A处 130tm,所以由余弦定理得d 2=(100+50t)2+(130t)2-2 130t (100+50t) 12 13 =200(37t 2-70t+50), 因 0
9、t 1 040 130 ,即 0t8, 故当 t= 35 37 (min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理 BC sinA = AC sinB ,得 BC= AC sinB sinA= 1 260 63 65 5 13 =500(m). 乙从 B 出发时 ,甲已走了 50 (2+8+1) 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 =550(m),还需走 710m 才能到达 C. 设乙步行的速度为vm/min, 由题意得 -3 500 v - 710 50 3,解得 1 250 43 v 625 14 , 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控 制在
10、1 250 43 , 625 14 (单位 :m/min) 范围内 . 考点三平面向量 易 错 点 1.忽视向量夹角的取值范围 2.对向量的夹角、模的意义理解不清 3.对向量的线性运算掌握不好 1.在ABC中,AB 边的高为 CD,若CB =a,CA =b,a b=0,|a|=1,|b|=2, 则AD = ( ) A. 1 3(a-b) B. 2 3(a-b) C. 3 5 (a-b) D. 4 5(a-b) 【解析】 选 D.如图所示 ,因为 a b=0,所以 ACCB,AB=AC 2 + CB 2 = 5, 又因为 CDAB, 所以 ACDABC, 所以 AD AC = AC AB ,即
11、AD= 4 5 = 4 5 5 , 所以AD = 4 5 AB = 4 5 (CB - CA )= 4 5 (a-b). 2.已知 a,b 是单位向量 ,a b=0,若向量 c 满足 |c-a-b|=1, 则|c|的最大值为 ( ) 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 A. 2-1 B. 2 C. 2+1 D. 2+2 【解析】 选 C.由题意 ,设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则 c-a-b=(x-1,y-1), 所以|c-a-b|= (x- 1) 2 + (y - 1) 2=1, 即(x-1) 2+(y-1)2=1. 又因为 |c|=x 2 + y 2, 所以|
12、c|是圆 (x-1) 2+(y-1)2=1 上的点到原点的距离 . 所以|c|的最大值是 2+1. 3.已知 ABC的外接圆的圆心为O,半径为 1,若 3OA +4OB +5OC =0,则AOC 的面积为( ) A. 2 5 B. 1 2 C. 3 10 D. 6 5 【解析】 选 A.由题意 ,得|OA |=|OB |=|OC |=1. 3OA +5OC =-4 OB , 所以(3OA +5OC ) 2=(-4 OB ) 2, 即 9+30 OA OC +25=16, OA OC =- 3 5 , cosAOC=- 3 5, 所以 sinAOC=1 - cos2AOC= 4 5, SAOC=
13、 1 2 1 1 4 5= 2 5. 4.在平行四边形ABCD 中,AD=1,BAD=60 ,点 E为 CD 的中点 .若AC BE =1, 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 则 AB 的长为. 【解析】 因为AC =AB +AD ,BE =BA +AD +DE =- AB +AD + 1 2 AB =AD - 1 2 AB , 所以AC BE =(AB +AD ) (AD - 1 2 AB ) =AD 22 + 1 2 AD AB - 1 2 AB 22 =1+ 1 2 1 |AB |cos60 - 1 2 |AB | 2 =1, 所以 1 4 |AB |- 1 2 |AB | 2
14、=0,解得|AB |= 1 2. 答案: 1 2 【加固训练】 1.已知向量 a,b 不共线 ,且 c= a+b,d=a+(2 -1)b, 若 c 与 d 同向,则实数的值 为. 【解析】 由于 c 与 d 同向 ,所以 c=kd(k0), 于是 a+b=ka+(2 -1)b, 整理得a+b=ka+(2 k-k)b. 由于 a,b 不共线 ,所以有 = k, 2 k - k = 1, 整理得 2 2- -1=0, 所以 =1 或 =-1 2 . 又因为 k0,所以 0,故 =1. 答案:1 2.设两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为 60 ,若向量 2te1+7e
15、2与向量 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 e1+te2的夹角为钝角 ,则实数 t 的取值范围为. 【解析】 由已知得 e1 2=4,e 2 2=1,e 1 e2=2 1 cos60 =1. 所以(2te1+7e2) (e1+te2)=2te1 2+(2t2+7)e 1 e2+7te2 2=2t2+15t+7. 欲使夹角为钝角 ,需 2t 2+15t+70. 得-7t-1 2. 设 2te1+7e2= (e1+te2)( 0). 则 2t = , 7 = t . 所以 2t 2=7.即 t=- 14 2 ,此时 =- 14. 即 t=- 14 2 时,向量 2te1+7e2与 e1+te2的夹角为.故夹角为钝角时 ,t的取值范围 是 (-7,- 14 2 ) (- 14 2 ,- 1 2). 答案:(-7,- 14 2 ) (- 14 2 ,- 1 2) 考点四复数 易 错 点 1.对复数的相关概念理解不清 2.对复数几何意义认识不到位 3.对复数的代数运算法则、虚数单位i 乘方的周期性掌握不准 1.设 xR,则“ x=1”是“复数 z=(x 2-1)+(x+1)i 为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 美好的未来不是等待，而是孜孜不
