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1、1 初中数学竞赛辅导讲义-双曲线 形如 x k y(0k)的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双 曲线相关的知识有： 1 双曲线解析式 x k y 中的系数 k 决定图象的大致位置及y 随x变化的状况 2 双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称， 在 k 0 时函数的图象关于直线xy轴 对称；在 k 0 时函数的图象关于直线xy轴对称 3自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴 【例题求解】 【例 1】 已知反比例函数 x k y的图象与直线xy2 和1xy过同一点，则当0 x时，这 个反比例函数的函数值 y 随 x的增大而(填增大或减小
2、 ) 思路点拨确定 k 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可 注： (1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O 中心称，关于xy轴 对称 )，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性 (2)一个常用命题： 2 如图，设点A 是反比例函数 x k y(0k)的图象上一点，过A 作 AB x轴于 B，过 A 作 AC y 轴于 C，则 SAOB= k 2 1 ； S 矩形OBAC= k 【例 2】 如图，正比例函数kxy(0k)与反比例函数 x y 1 的图象相交于A、C 两点，过 A 作 ABx轴于 B，连结 BC，若 S ABC 的面积为S，则 ( ) AS=1 BS =
3、2 CS= kDS= 2 k 思路点拨运用双曲线的对称性，导出SAOB与 SOBC的关系 【例 3】如图，已知一次函数8xy和反比例函数 x k y(0k)的图象在第一象限内有 两个不同的公共点A、B (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 AOB 面积 S24，求 k的值 3 (2003 年荆门市中考题) 思路点拨(1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解； (2)SAOB= SCOB S- SCOA，建立 k 的方程 【例 4】 如图，直线2 2 1 xy分别交x、 y 轴于点A、C，P 是该直线上在第一象限内的 一点， PBx轴于 B，SABP=9 (1)求点 P 的
4、坐标； (2)设点 R 与点 P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线 PB 的右侧，作PTx轴于 F，当 BRT 与 AOC 相似时，求点R 的坐标 思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P 点坐标； (2)以三角形相似为条件，结合 线段长与坐标的关系求R 坐标，但要注意分类讨论 【例 5】 如图，正方形OABC 的面积为9，点 O 为坐标原点，点A 在x轴上，点C 在 y 轴 上，点 B 在函数 x k y(0k，0 x)的图象上，点P(m，n)是函数 x k y(0k，0 x) 的图象上的任意一点，过点P 分别作x轴、 y 轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF 和正方
5、形 OABC 不重合部分的面积为S (1)求 B 点坐标和 k 的值； (2)当 2 9 S时，求点P 的坐标； (3)写出 S 关于 m 的函数关系式 思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B 坐标可求， S矩形 OAGF 可用含n的代数式表示， 4 解题的关键是双曲线关于xy对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密 注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合 某种条件 的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)， 解方程 (组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论 学历训练 1 若一次函数bk
6、xy的图象如图所示，则抛物线bkxxy 2 的对称轴位于y 轴的 侧； 反比例函数 x kb y的图象在第象限，在每一个象限内， y 随 x 的增大而 2反比例函数 x k y的图象经过点A(m，n)，其中 m，n 是一元二次方程04 2 kxx的两 5 个根，则 A 点坐标为 3如图：函数kxy（k 0）与 x y 4 的图象交于A、 B两点，过点A作 AC y轴， 垂足为点C，则 BOC 的面积为 4已知，点P(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题： (1) 点 P 关于 y 轴对称的点P1的坐标是 (n ，-2n) ； (2)点 P到原点 O的距离是5n；(3) 直 线 y=-nx+2
7、n不经过第三象限；(4) 对于函数y= n x ，当 x 0 时 ,y 随 x 的增大而减小；其中 真命题是 .(填上所有真命题的序号) 5已知反比例函数y= 1m x 的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2） ，当 x10 x2时，有 y1 y2 ,则 m 的取值范围是 ( ) A m O Bm 0 C. m 1 2 D.m 1 2 6已知反比例函数 x k y的图象如图所示，则二次函数 22 2kxkxy的图象大致为( ) 6 7已知反比例函数),0(k x k y当0 x时， y 随 x 的增大面增大，那么一次函数 kkxy的图象经过 ( ) A第一、二、三象限B第一、二、四象限
8、C第一、三、四象限D第二、三、四象限 8如图， A、B 是函数 x y 1 的图象上的点，且A、 B 关于原点O 对称， AC x轴于 C， BDx轴于 D，如果四边形ACBD 的面积为S，那么 ( ) A S1 B1S2 DS 2 9如图，已知一次函数y=kx+b(k O)的图像与x 轴、y 轴分别交于A、B两点，且与反比例 函数 y= x m (m0)的图像在第一象限交于C点， CD垂直于 x 轴，垂足为D若 OA=OB=OD=l （1）求点 A、B、D的坐标； （2）求一次函数和反比例函数的解析式 10已知 A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线2xy与双曲线 x k y(0k)的两个
9、不同交点 (1)求 k 的取值范围； (2)是否存在这样k 的值，使得 2 1 1 2 21 )2)(2( x x x x xx?若存在，求出这样的k 值；若不存 在，请说明理由 11已知反比例函数 2 k y x 和一次函数y2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k) 两点 (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标； 7 (3)利用 (2)的结果，请问：在x 轴上是否存在点P，使 AOP 为等腰三角形？若存在，把符 合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由. 12反比例函数 x k y的图象上有一点P
10、(m， n)，其中m、n 是关于t 的一元二次方程 03 2 ktt的两根，且P 到原点 O 的距离为13，则该反比例函数的解析式为 13如图， 正比例函数xy3的图象与反比例函数 x k y(0k)的图象交于点A，若 k 取 1， 2，320，对应的 RtAOB 的面积分别为S1，S2， S20，则 S1+S2+S20= 14老师给出一个函数y=f(x) ，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数图像不经过第三象限； 乙：函数图像经过第一象限； 丙：当 x2 时， y 随 x 的增大而减小； 丁：当 x2 时， y0 已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个
11、 函数： 15已知反比例函数 x y 12 的图象和一次函数7kxy的图象都经过点P(m，2) (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果等腰梯形ABCD 的顶点 A、B 在这个一次函数的图象上，顶点C、D 在这个反 比例函数的图象上，两底AD 、BC 与 y 轴平行，且A、B 的横坐标分别为a和2a， 求a的值 8 16如图，直线经过A(1，0)，B(0，1)两点，点P 是双曲线 x y 2 1 (0 x)上任意一点，PM x轴， PN y 轴，垂足分别为M ，NPM 与直线 AB 交于点 E，PN 的延长线与直线AB 交于点 F (1) 求证： AFBE1； (2)若平行于AB 的直线与双
12、曲线只有一个公共点，求公共点的坐标 (2003 年江汉油田中考题) 17已知矩形ABCD 的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系 ，设点 A 的坐标为 (x，y)，其中 x0，y0 (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式，求出自变量x 的取值范围； (2)用 x、y 表示矩形ABCD 的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题： 方法： 2 22 2 ()2 kk aak aa (k 为常数且k0，a0)，且 2 ()0 k a a 2 2 2 2 k ak a 当 k a a =0，即ak时， 2 2 2 k a a 取得最小值2k 问题：当点A 在何位置时，矩形ABCD 的外接圆面积S 最小 ?并求出 S的最小值； (3)如果直线y=mx+2(m0) 与 x 轴交于点P，与 y 轴交于点Q，那么是否存在这样的实 数 m，使得点 P、Q 与(2)中求出的点A 构成 PAQ 的面积是矩形ABCD 面积的 1 6 ?若存在， 请求出 m 的值；若不存在，请说明理由 9 参考答案 10
